§ 2. Прямые и плоскости — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Взаимное расположение

Две прямые

Две прямые плоскости могут иметь только одну общую точку — такие прямые называются пересекающимися. Две прямые плоскости могут не иметь общих точек — тогда их называют параллельными.

В пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т. е. нет такой плоскости, которой бы они обе принадлежали. Такие прямые называются скрещивающимися. Представление о них дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под ней.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Скрещивающиеся прямые на параллелепипеде

Как читать: прямые MN и L₁M₁ проходят через рёбра параллелепипеда KLMNK₁L₁M₁N₁. Они не пересекаются и не параллельны — никакая плоскость не содержит их обе. Ребро MN закрыто гранями, поэтому оно штриховое.

Прямая и плоскость, две плоскости

Прямая может лежать в плоскости. Если прямая не лежит в плоскости, то она может пересекать её в некоторой точке или не иметь с плоскостью ни одной общей точки — тогда прямая и плоскость называются параллельными.

Две плоскости могут пересекаться по прямой или не иметь общих точек — тогда их называют параллельными. Пример пересекающихся плоскостей — столешница и боковина стола, параллельных — пол и потолок.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Три случая для прямой и плоскости

Как читать: карандаш на столе — прямая лежит в плоскости; стрела, попавшая в мишень, — прямая пересекает плоскость в одной точке T; гимнастическое бревно над полом — прямая параллельна плоскости. Часть прямой b под плоскостью не видна — она штриховая.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Прямые обозначают строчными латинскими буквами a, b, c, …, плоскости — строчными греческими буквами α, β, γ, … Знак ∥ обозначает параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей: a ∥ b, c ∥ α, α ∥ β.

Взаимное расположение

Фигуры	Варианты расположения	Общих точек
Две прямые	пересекаются; параллельны; скрещиваются	1; 0; 0
Прямая и плоскость	прямая лежит в плоскости; пересекает её; параллельна ей	все точки прямой; 1; 0
Две плоскости	пересекаются по прямой; параллельны	все точки прямой; 0

Главная мысль

Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются; прямая лежит в плоскости, пересекает её или ей параллельна; две плоскости пересекаются по прямой или параллельны.

Аксиомы стереометрии

Теория взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве основывается на аксиомах.

АКСИОМА 1

Если три точки не лежат на одной прямой, то через них проходит единственная плоскость.

АКСИОМА 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то каждая точка этой прямой принадлежит плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости.

АКСИОМА 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

Аксиомы на практике

Аксиома	Пример из жизни
1	штатив фотоаппарата на трёх ножках стоит устойчиво; дверь на двух петлях фиксирует третья точка — замок; табурет с неровно подрезанными ножками стоит на трёх, а четвёртая висит
2	проверка линейки: прямолинейный край прилегает к столу всеми точками, у неровного края видна щель
3	две смежные стены комнаты пересекаются по прямой

В стереометрии выполняются все аксиомы планиметрии и все доказанные в ней утверждения; например, признаки равенства и подобия треугольников верны и для треугольников, лежащих в разных плоскостях. По аксиоме 1 плоскость определяется тремя своими точками, поэтому плоскость, проходящую через точки A, B, C, обозначают (ABC).

Подумай и объясни

Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

Сверить рассуждение

Нет. По аксиоме 3 через общую точку проходит общая прямая. Если общих точек две, то и прямая через них общая (по аксиоме 2 она лежит в каждой плоскости). Значит, общих точек бесконечно много — целая прямая.

ИССЛЕДУЙ САМ

Сколько прямых и плоскостей задают точки

Меняй число точек и выбирай, что считать. Сначала предскажи ответ, потом проверь вычисления.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Аксиомы: через три точки, не лежащие на одной прямой, — единственная плоскость; прямая с двумя точками в плоскости лежит в ней; две плоскости с общей точкой имеют общую прямую.

Теоремы о плоскости

ТЕОРЕМА 3

Через прямую и точку вне её проходит единственная плоскость.

Дано: прямая l, точка A ∉ l. Доказать: через l и A проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Выберем на прямой l точки B и C. Точки A, B, C не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме 1 через них проходит плоскость α. Две точки B и C прямой l лежат в α, значит, по аксиоме 2 и прямая l лежит в α.

Пусть через l и A проходит ещё одна плоскость β. Тогда β проходит через точки A, B, C. По аксиоме 1 через три такие точки проходит единственная плоскость, значит, β совпадает с α. ∎

ТЕОРЕМА 4

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Дано: прямые p и q пересекаются в точке D. Доказать: через p и q проходит единственная плоскость.

Доказательство. Выберем на прямой q точку E, отличную от D. По теореме 3 через прямую p и точку E проходит единственная плоскость γ. Две точки D и E прямой q лежат в γ, значит, и прямая q лежит в γ (аксиома 2).

Если через p и q проходит ещё плоскость δ, то она проходит через p и E. Но через прямую p и точку E проходит единственная плоскость, значит, δ совпадает с γ. ∎

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Плоскость задают прямая и точка, две пересекающиеся прямые

Как читать: итак, плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне её; двумя пересекающимися прямыми. Теорему 4 применяет столяр: чтобы наметить плоскость распила бруска, он проводит в двух смежных гранях пересекающиеся прямые.

Разберём ошибку

Неверно Через любые три точки проходит единственная плоскость.

Аксиома 1 требует, чтобы три точки не лежали на одной прямой. Через три точки одной прямой проходит бесконечно много плоскостей: это все плоскости, содержащие эту прямую.

Как рассуждать: прежде чем ссылаться на аксиому 1, проверь, что точки не лежат на одной прямой.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой, прямая и точка вне её, две пересекающиеся прямые.

Построения на многогранниках

Как строить общие точки и прямые

Чтобы построить прямую, по которой пересекаются две плоскости, достаточно найти две их общие точки: по аксиоме 2 прямая через них лежит в каждой из плоскостей.

Чтобы найти точку, в которой прямая пересекает плоскость, выбирают в этой плоскости прямую, лежащую в одной плоскости с данной прямой и не параллельную ей. Точка пересечения этих двух прямых и есть искомая.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Задача 4: плоскость PQR пересекает плоскость ABC

Как читать: точки Q и R лежат в грани SBC, поэтому прямая QR лежит в плоскости SBC и пересекает прямую SB в точке K. Точки K и P лежат в плоскости SAB, прямая KP пересекает AB в точке M. Точки M и R — общие точки плоскостей PQR и ABC, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой MR.

Решение задачи 4 из учебника

Q ∈ SC, R ∈ BC
Обе точки лежат в плоскости SBC, по аксиоме 2 прямая QR ⊂ (SBC).
QR ∩ SB = K
Прямые QR и SB лежат в одной плоскости SBC; K ∈ SB, значит, K ∈ (SAB).
KP ∩ AB = M
P ∈ SA ⊂ (SAB), поэтому KP ⊂ (SAB); прямые KP и AB пересекаются в точке M.
(PQR) ∩ (ABC) = MR
M ∈ AB ⊂ (ABC) и M ∈ KP ⊂ (PQR); R ∈ BC ⊂ (ABC) и R ∈ (PQR). По аксиоме 3 плоскости пересекаются по прямой MR.

ПРИМЕР ИЗ УЧЕБНИКА

Плоскости ABC и KK₁N₁ в призме

На рёбрах KK₁, K₁L₁, L₁M₁ призмы KLMNK₁L₁M₁N₁ выбраны точки A, B, C, причём прямая BC не параллельна ребру K₁N₁. Точки B и C лежат в грани K₁L₁M₁N₁, и прямые BC и K₁N₁ этой грани пересекаются в точке P.

P принадлежит и плоскости ABC (как точка прямой BC), и плоскости KK₁N₁ (как точка прямой K₁N₁). Точка A — тоже общая точка этих плоскостей. Значит, плоскости ABC и KK₁N₁ пересекаются по прямой PA.

Главная мысль

Прямую пересечения двух плоскостей строят по двум общим точкам; точку пересечения прямой с плоскостью — с помощью прямой этой плоскости, лежащей с данной прямой в одной плоскости.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 задач из учебника (номера указаны в условии). Обоснуй ответ аксиомой или теоремой. Где возможны несколько ответов, введи все значения через «;». Если в ответе есть корень, введи число, о котором спрашивают.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты задач по параграфу: подсчёт прямых и плоскостей, рёбра многогранников, ломаные и поверхности призм.

Тренажёр

Как расположены прямые в кубе?

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (ABCD — нижнее основание, A₁B₁C₁D₁ — верхнее, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁). Определи взаимное расположение прямых. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Рассуждаем с аксиомами

Докажи или опровергни, затем сверь рассуждение с образцом.

Три прямые попарно пересекаются в трёх различных точках. Докажи, что они лежат в одной плоскости. Верно ли это, если все три прямые проходят через одну точку?

Сверить рассуждение

Пусть прямые a и b пересекаются в точке K. По теореме 4 через них проходит плоскость α. Прямая c пересекает a и b в двух разных точках, обе лежат в α, значит, по аксиоме 2 c ⊂ α. Если же прямые проходят через одну точку, они могут не лежать в одной плоскости: рёбра AB, AD, AA₁ куба.

№ 30. Две смежные вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат плоскости. Докажи, что весь четырёхугольник лежит в этой плоскости.

Сверить рассуждение

Пусть A, B и точка O пересечения диагоналей AC и BD лежат в плоскости α. Точки A и O лежат в α, значит, вся прямая AO лежит в α (аксиома 2), а C лежит на этой прямой. Так же из B, O ∈ α получаем D ∈ α. Все вершины в α, а стороны — отрезки прямых с двумя точками в α, поэтому и они лежат в α.

Найди ошибку: «Табурет с четырьмя ножками всегда устойчивее, чем с тремя, ведь опор больше».

Сверить рассуждение

Концы трёх ножек всегда лежат в одной плоскости (аксиома 1), поэтому табурет на трёх ножках не качается. Концы четырёх ножек могут не лежать в одной плоскости: если ножки подрезаны неровно, табурет стоит на трёх, а четвёртая висит — и он качается.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются — скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна ей; две плоскости пересекаются по прямой или параллельны.

Аксиомы 1–3: плоскость через три точки, не лежащие на одной прямой; прямая с двумя точками в плоскости; общая прямая двух плоскостей с общей точкой.

Плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой, прямая и точка вне её, две пересекающиеся прямые (теоремы 3 и 4).

Линию пересечения двух плоскостей строят по двум общим точкам этих плоскостей.

Точку пересечения прямой с плоскостью находят как пересечение данной прямой с прямой этой плоскости, лежащей с ней в одной плоскости.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.