§ 10. Перпендикулярность плоскостей — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Двугранный угол и его линейный угол

Два луча на плоскости с общим началом разделяют плоскость на две части — углы. Аналогично две полуплоскости с общей границей разделяют пространство на две части.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Двугранный угол

Каждую из частей пространства, на которые его разделяют две полуплоскости с общей границей, вместе с полуплоскостями называют двугранным углом. Полуплоскости — грани угла, общая прямая — ребро двугранного угла.

Обозначают по ребру: ∠AB; при необходимости добавляют названия граней или точек на гранях: ∠αABβ, ∠MABN. Обычно рассматривают меньший из двугранных углов с данными гранями.

Модели двугранного угла — двускатная крыша, стена вместе с открытой дверью, полураскрытая книга.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейный угол

Выберем на ребре AB точку P и в гранях α и β проведём из неё лучи PQ и PR, перпендикулярные ребру. Угол QPR называют линейным углом двугранного угла. Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру.

Линейный угол двугранного угла

∠QPR — линейный угол

PQ ⊥ AB и PR ⊥ AB, поэтому AB ⊥ (PQR). Двугранный угол имеет бесконечно много линейных углов.

ТЕОРЕМА 10

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Идея доказательства: на сторонах двух линейных углов откладывают равные отрезки; получаются параллелограммы, поэтому треугольники, образованные концами отрезков, равны по трём сторонам, а значит, равны и линейные углы.

Двугранный угол называют острым, прямым, тупым, развёрнутым, если таков его линейный угол. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла: если один из них равен α, то ещё один тоже α, а два других — 180° − α. Угол, не превосходящий 90°, принимают за угол между плоскостями.

Главная мысль

Двугранный угол измеряют линейным углом — углом между лучами, проведёнными в гранях из одной точки ребра перпендикулярно ему; все линейные углы двугранного угла равны.

Перпендикулярные плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Перпендикулярные плоскости

Плоскости, при пересечении которых образуются прямые двугранные углы, называются перпендикулярными плоскостями. Обозначение: α ⊥ β.

Если один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, прямой, то три остальных также прямые. Модели — столешница и боковина стола, пол и дверь в комнату.

ТЕОРЕМА 11 · ПРИЗНАК

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Рисунок к теореме 11

a ⊥ α, a ⊂ β ⇒ β ⊥ α

Плоскости пересекаются по прямой MP, a ⊥ MP. В плоскости α проводим MN ⊥ MP. Угол между a и MN — линейный угол двугранного угла, и он прямой, так как a ⊥ α. Значит, α ⊥ β.

СЛЕДСТВИЕ

Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна каждой из них.

ИССЛЕДУЙ САМ

Перпендикуляры к ребру двугранного угла

Выбирай величину двугранного угла и длины перпендикуляров к ребру. Найди квадрат расстояния между их концами, а потом открой вычисления.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Плоскости перпендикулярны, если при их пересечении образуются прямые двугранные углы; если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

Свойства перпендикулярных плоскостей

ТЕОРЕМА 12

Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости.

Доказательство: через точку K плоскости α проводим в ней прямую b ⊥ MN (MN — линия пересечения), а через точку L их пересечения в плоскости β — прямую c ⊥ MN. Угол между b и c — линейный угол прямого двугранного угла, поэтому b ⊥ c и b ⊥ MN, то есть b ⊥ β. Через точку K проходит только одна прямая, перпендикулярная β, поэтому данная прямая совпадает с b и лежит в α.

ПРИМЕР 1 ИЗ ПАРАГРАФА

Сечение правильной пирамиды

M — середина ребра AB правильной пирамиды QABC. AB — основание равнобедренных треугольников AQB и ACB, поэтому AB ⊥ QM и AB ⊥ CM, то есть AB ⊥ (QCM). Плоскость ABC проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости QCM, поэтому (QCM) ⊥ (ABC).

СЛЕДСТВИЕ

Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения перпендикулярна той же плоскости.

ЗАДАЧА 1 ИЗ ПАРАГРАФА

Перпендикулярные треугольник и квадрат

Плоскости правильного треугольника KMD и квадрата KMNP перпендикулярны, KM = a. MN ⊥ MK, поэтому по теореме 12 MN ⊥ (KDM) и MN ⊥ MD. Из прямоугольного △DMN: DN = √(a² + a²) = a√2.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она лежит в первой плоскости; линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей, перпендикулярна ей.

Теорема о трёх синусах и проекция фигуры

ТЕОРЕМА 13 · О ТРЁХ СИНУСАХ

Линейный угол α двугранного угла, угол β между ребром этого двугранного угла и прямой, лежащей в одной из его граней, и угол γ между этой прямой и плоскостью другой грани связаны равенством sin α · sin β = sin γ.

Следствие 1. Если точка A лежит в грани λ двугранного угла величиной α, то расстояние от неё до плоскости другой грани равно AB · sin α · sin β, где B — точка ребра, β — угол между AB и ребром.

Частный случай: если AB ⊥ ребру (β = 90°), то расстояние от точки A, удалённой от ребра на d, до другой грани равно d · sin α. Отсюда задачи № 316, 317: расстояния точек одной грани до другой грани пропорциональны их расстояниям до ребра.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Ортогональная проекция

Ортогональной проекцией точки на плоскость α называется точка пересечения с этой плоскостью прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно α. Ортогональная проекция фигуры — множество ортогональных проекций всех её точек.

Если плоскость многоугольника площади S наклонена к плоскости α под углом β (0° < β < 90°), то площадь его ортогональной проекции S′ = S · cos β (задачи а–в на с. 131).

Разберём ошибку

Неверно «Двугранный угол при ребре AB куба ABCDA₁B₁C₁D₁ между гранями ABCD и ABB₁A₁ измеряется углом A₁BA».

Сторона BA угла A₁BA лежит на ребре, а не перпендикулярна ему. Линейный угол строят лучами, перпендикулярными ребру.

Как рассуждать: возьми точку A на ребре и лучи AD ⊥ AB, AA₁ ⊥ AB: линейный угол DAA₁ = 90°.

Главная мысль

Линейный угол α двугранного угла, угол β между ребром и прямой одной грани и угол γ между этой прямой и другой гранью связаны равенством sin α · sin β = sin γ.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий из учебника (номера указаны в условии). Сделай рисунок, найди линейный угол двугранного угла или прямую, перпендикулярную плоскости, затем введи ответ. Если длина иррациональна, в задании спрашивается её квадрат или множитель перед корнем.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Линейный угол или нет?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, кубе STUVS₁T₁U₁V₁ и пирамиде OPQR реши, является ли угол линейным углом указанного двугранного угла. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Двугранные углы складываются как обычные

Порассуждай сам, а потом сверь своё объяснение с образцом.

№ 311. Двугранный угол αABβ разбит полуплоскостью γ на два двугранных угла αABγ и γABβ. Верно ли, что линейный угол двугранного угла αABβ равен сумме линейных углов этих двух углов?

Сверить рассуждение

Да. Возьмём точку P ребра AB и плоскость, проходящую через P перпендикулярно AB. Она пересекает полуплоскости α, γ, β по лучам PQ, PS, PR, перпендикулярным AB, — это линейные углы всех трёх двугранных углов, и они лежат в одной плоскости. Луч PS проходит внутри угла QPR, поэтому ∠QPR = ∠QPS + ∠SPR.

№ 340. Можно ли через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости? Сколько таких плоскостей?

Сверить рассуждение

Можно, и бесконечно много. Через точку проведём прямую, перпендикулярную данной плоскости (она единственна, теорема 4). Любая плоскость, проходящая через эту прямую, перпендикулярна данной плоскости по признаку (теорема 11), а таких плоскостей бесконечно много.

Найди ошибку: «Плоскости α и β перпендикулярны. Значит, любая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β».

Сверить рассуждение

Неверно. Перпендикулярна β только прямая плоскости α, перпендикулярная линии пересечения плоскостей (теорема 12 и признак). Например, сама линия пересечения лежит в α, но лежит и в β, а прямая α, параллельная линии пересечения, параллельна β.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла: два по α и два по 180° − α; угол между плоскостями — тот из них, что не больше 90°.

Если перпендикуляры к ребру MA и NB лежат в разных гранях двугранного угла φ, то AB² = MN² + MA² + NB² − 2 · MA · NB · cos φ.

Площадь ортогональной проекции многоугольника: S′ = S · cos β, где β — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.