ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Декартова система координат в пространстве
Система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел. Координаты позволяют свести геометрическую задачу к алгебраической. В пространстве для этого нужна третья ось.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Выберем точку O — начало системы координат — и три попарно перпендикулярные прямые, проходящие через неё. На каждой прямой отметим равные единичные отрезки OA, OB, OC. Получаем три оси: ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz.
Как найти координаты точки M
- Абсцисса x
Через M проводим плоскость, перпендикулярную оси Ox; x — координата точки пересечения этой плоскости с осью Ox.
- Ордината y
Через M проводим плоскость, перпендикулярную оси Oy; y — координата точки её пересечения с осью Oy.
- Аппликата z
Через M проводим плоскость, перпендикулярную оси Oz; z — координата точки её пересечения с осью Oz.
Запись M(a; b; c) означает, что точка M имеет координаты (a; b; c). Каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка чисел, и каждой упорядоченной тройке чисел — определённая точка.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Координаты точки M(a; b; c)
Где расположена точка
| Точка | Расположение |
|---|---|
| M(a; 0; 0) | на оси абсцисс Ox |
| K(0; b; 0) | на оси ординат Oy |
| P(0; 0; c) | на оси аппликат Oz |
| A(a; b; 0) | в плоскости xOy |
| B(0; b; c) | в плоскости yOz |
| C(a; 0; c) | в плоскости xOz |
Проекции и симметрия для точки M(a; b; c)
| Относительно | Проекция | Симметричная точка |
|---|---|---|
| плоскости xOy | (a; b; 0) | (a; b; −c) |
| оси Ox | (a; 0; 0) | (a; −b; −c) |
| начала O | — | (−a; −b; −c) |
Подумай и объясни
Где лежит точка T(0; −3; 0)? А точка Q(−2; 0; 5)?
Сверить рассуждение
T — на оси ординат: её абсцисса и аппликата равны нулю. Q — в плоскости xOz (нулевая ордината), но не на оси, так как две другие координаты не нули.
Главная мысль
Точка пространства ↔ упорядоченная тройка чисел (x; y; z): абсцисса, ордината, аппликата.
Расстояние между точками
На плоскости длину отрезка с концами A(xA; yA) и B(xB; yB) находят по формуле AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). В пространстве добавляется третья координата.
ФОРМУЛА РАССТОЯНИЯ
Длина отрезка AB с концами A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB): AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²).
Почему формула верна
- Строим параллелепипед
Через точки A и B проведём плоскости, перпендикулярные координатным осям. Отрезок AB оказывается диагональю прямоугольного параллелепипеда.
- Измерения
Рёбра параллелепипеда параллельны осям и равны |xB − xA|, |yB − yA| и |zB − zA|.
- Диагональ
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Если какие-то из проведённых плоскостей совпадут, параллелепипед превратится в прямоугольник или отрезок — формула остаётся верной.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Отрезок AB — диагональ параллелепипеда
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Расстояние от точки A(3; −1; 4) до точки M(−1; −4; −8) (№ 375 б)
AM = √((−1 − 3)² + (−4 + 1)² + (−8 − 4)²) = √(16 + 9 + 144) = √169 = 13.
Частный случай — расстояние до начала координат: OA = √(3² + (−1)² + 4²) = √26.
Расстояния от точки M(x; y; z)
| До чего | Основание перпендикуляра | Расстояние |
|---|---|---|
| начала O | — | √(x² + y² + z²) |
| оси Ox | (x; 0; 0) | √(y² + z²) |
| оси Oy | (0; y; 0) | √(x² + z²) |
| оси Oz | (0; 0; z) | √(x² + y²) |
| плоскости xOy | (x; y; 0) | |z| |
| плоскости xOz | (x; 0; z) | |y| |
| плоскости yOz | (0; y; z) | |x| |
ИССЛЕДУЙ САМ
Точка в пространстве и её расстояния
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²): отрезок AB — диагональ «координатного» параллелепипеда.
Середина отрезка. Задачи на расстояния
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Если A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) и C(xC; yC; zC) — середина отрезка AB, то xC = xA + xB2, yC = yA + yB2, zC = zA + zB2.
Это утверждение известно из планиметрии и остаётся истинным в пространстве (см. пример 2 в § 6). С его помощью находят вершины параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому у параллелограмма ABCD середины AC и BD совпадают и xA + xC = xB + xD (так же для y и z).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Четвёртая вершина параллелограмма (№ 369 а)
A(2; −1; 3), B(3; 1; −5), C(4; 3; 1). Найдём D, при котором ABCD — параллелограмм.
xD = xA + xC − xB = 2 + 4 − 3 = 3, yD = −1 + 3 − 1 = 1, zD = 3 + 1 + 5 = 9. Ответ: D(3; 1; 9). Проверка: середины AC и BD — одна точка (3; 1; 2).
Чтобы найти на оси точку, равноудалённую от двух данных точек, записывают её с двумя нулевыми координатами и приравнивают квадраты расстояний — так удобнее, чем сравнивать корни.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Подумай и объясни
На оси аппликат найдите точку, равноудалённую от точек A(3; −2; 5) и B(−1; 4; −3) (№ 376 б).
Сверить рассуждение
Пусть M(0; 0; z). MA² = 9 + 4 + (z − 5)², MB² = 1 + 16 + (z + 3)². Из 38 − 10z = 26 + 6z получаем z = 0,75. Ответ: (0; 0; 0,75).
Главная мысль
Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов; равноудалённость записывают равенством квадратов расстояний.
Плоскость в координатах
С помощью формулы расстояния можно описать координатами не только точку, но и целую фигуру — указать условие, которому удовлетворяют координаты всех её точек.
ПРИМЕР 2 УЧЕБНИКА
Точки, равноудалённые от O и A(a; b; c)
Такие точки лежат на серединных перпендикулярах к отрезку OA и заполняют плоскость, проходящую через середину OA перпендикулярно ему.
Условие OM = AM для точки M(x; y; z): x² + y² + z² = (x − a)² + (y − b)² + (z − c)². Квадраты x², y², z² сокращаются: 2(ax + by + cz) = a² + b² + c².
Ответ: искомое геометрическое место точек — плоскость, которая задаётся уравнением ax + by + cz = 0,5(a² + b² + c²).
ВЫВОД
Условие, задающее плоскость, после упрощения оказывается уравнением первой степени относительно x, y, z (в § 13 это будет доказано). Например, плоскость, проходящая через точку B(2; 3; −2) перпендикулярно оси абсцисс, задаётся уравнением x = 2, а перпендикулярно оси аппликат — уравнением z = −2 (№ 381).
Частая ошибка
Неверно «Уравнение x = 2 задаёт прямую, параллельную оси Oy» — так было бы на координатной плоскости xOy.
Как рассуждать: В пространстве условию x = 2 удовлетворяют все точки (2; y; z) с любыми y и z. Это плоскость, проходящая через точку (2; 0; 0) перпендикулярно оси Ox.
Главная мысль
Точки, равноудалённые от двух данных точек, образуют плоскость; условие на их координаты — уравнение первой степени.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа — упражнения учебника, номер указан в условии. Решай в тетради, затем введи ответ: координаты точки — в три поля x, y, z, дробь — как 3/4. Если ответ — корень, в поле вводят его квадрат (так сказано в условии).
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Задачи на закрепление
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
Тренажёр
Где лежит точка?
Определи по координатам, где расположена точка. После ответа появится объяснение.
Думай как математик
Рассуждаем с координатами
Попробуй сначала объяснить сам, потом сверь рассуждение с образцом.
Почему любая точка оси аппликат равноудалена от точек A(2; −3; 3) и B(−2; 3; 3) (№ 377 б)?
Сверить рассуждение
Для M(0; 0; z): MA² = 4 + 9 + (z − 3)² и MB² = 4 + 9 + (z − 3)² — выражения совпадают при любом z. Геометрически: середина AB — точка (0; 0; 3) — лежит на оси Oz, а отрезок AB лежит в плоскости z = 3, перпендикулярной оси Oz. Значит, ось Oz лежит в плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно AB, и каждая её точка равноудалена от A и B.
Ученик пишет: «Точка M(0; 0; 5) лежит в плоскости xOy, потому что её абсцисса и ордината равны нулю». Найдите ошибку.
Сверить рассуждение
В плоскости xOy лежат точки с нулевой аппликатой (z = 0). Нулевые абсцисса и ордината означают другое: точка лежит на оси Oz. Точка M находится на оси аппликат на расстоянии 5 от плоскости xOy.
Докажите, что треугольник с вершинами A(3; 9; −5), B(10; 2; −5), C(3; 2; 2) правильный, и найдите его периметр (№ 442 а).
Сверить рассуждение
AB² = 7² + (−7)² + 0² = 98, BC² = (−7)² + 0² + 7² = 98, CA² = 0² + 7² + (−7)² = 98. Все стороны равны 7√2, значит, треугольник правильный, каждый его угол 60°, а периметр 21√2.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Точка пространства задаётся упорядоченной тройкой чисел (x; y; z): абсциссой, ординатой и аппликатой.
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²); расстояние до начала координат OM = √(x² + y² + z²).
Середина отрезка: xC = xA + xB2, yC = yA + yB2, zC = zA + zB2.
Точки, равноудалённые от двух данных, образуют плоскость; её задаёт уравнение первой степени, например x − 2y − 6z − 13 = 0.
Две нулевые координаты — точка на оси; одна нулевая координата — точка в координатной плоскости.
Расстояние от M(x; y; z) до плоскости xOy равно |z|, до оси Ox — √(y² + z²).
Проверь себяТест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.