§ 9. Угол между прямой и плоскостью — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Теорема о трёх перпендикулярах

Взаимное расположение двух прямых описывают угол и расстояние между ними. У пересекающихся прямых расстояние равно нулю и важен угол, у параллельных угол равен нулю и важно расстояние, у скрещивающихся важны и угол, и расстояние.

ТЕОРЕМА 9 · О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Если прямая плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной, а если прямая плоскости перпендикулярна наклонной к плоскости, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Рисунок к теореме 9

l ⊥ BC ⇔ l ⊥ AC

Доказательство: AB ⊥ α, поэтому AB ⊥ l. Если l ⊥ BC, то l перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и AB плоскости ABC, значит, l ⊥ (ABC) и l ⊥ AC. Если l ⊥ AC, то l ⊥ AC и l ⊥ AB, значит, l ⊥ (ABC) и l ⊥ BC.

Почему «трёх»?

В теореме речь идёт об отношении перпендикулярности между тремя прямыми: перпендикуляром AB к плоскости, проекцией BC и наклонной AC (каждая из двух последних сравнивается с прямой l).

Разберём ошибку

Неверно «Прямая l перпендикулярна проекции BC наклонной AC, значит l ⊥ AC» — для прямой l, не лежащей в плоскости α.

В теореме прямая l обязательно лежит в плоскости α: только тогда AB ⊥ l.

Как рассуждать: сначала проверь, что прямая лежит в плоскости, на которую проектируют наклонную.

Главная мысль

Прямая плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной; и обратно: перпендикулярная наклонной перпендикулярна и её проекции.

Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая p пересекает плоскость α и не перпендикулярна ей. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой p на плоскость α, образуют прямую p₁ — проекцию прямой p на плоскость α.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной ей, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, её проекция — точка, и угол между ними принимают равным 90°. Если прямая параллельна плоскости, угол принимают равным 0°.

Угол между прямой и плоскостью

φ = ∠MOM₁

MM₁ ⊥ α, поэтому OM₁ — проекция, а φ — острый угол прямоугольного △MM₁O: sin φ = MM₁ : OM, tg φ = MM₁ : OM₁.

Угол между прямой и плоскостью — наименьший из углов, которые эта прямая образует со всеми прямыми плоскости.

ИССЛЕДУЙ САМ

Угол между наклонной и плоскостью

Меняй длину перпендикуляра и проекции наклонной. Посмотри, как меняется угол φ, найди tg φ, квадрат наклонной или sin² φ и проверь себя.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Угол между прямой и плоскостью (прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей) — угол между прямой и её проекцией на плоскость; для перпендикулярной прямой он 90°, для параллельной — 0°.

Применяем теорему о трёх перпендикулярах

ПРИМЕР 1 ИЗ ПАРАГРАФА

Расстояние от точки до прямой

Из вершины A треугольника ABC со сторонами AB = 13, BC = 20, CA = 11 возведён перпендикуляр AD = 36. Строим высоту AH треугольника. BC ⊥ AH, а AH — проекция наклонной DH, поэтому BC ⊥ DH (теорема о трёх перпендикулярах), и DH — искомое расстояние.

Рисунок к примеру 1

DH ⊥ BC

По формуле Герона S = 66, AH = 2S : BC = 6,6. DH = √(36² + 6,6²) = 36,6.

ПРИМЕРЫ 2 И 3

Точка, равноудалённая от сторон или вершин

Если точка пространства равноудалена от сторон многоугольника, то в этот многоугольник можно вписать окружность, центр которой — основание перпендикуляра из данной точки на плоскость многоугольника.

Если точка пространства равноудалена от вершин многоугольника, то около него можно описать окружность, центр которой — основание перпендикуляра из данной точки на плоскость многоугольника.

Подумай и объясни

Почему в примере 2 проекции OK₁, OK₂, … перпендикуляров SK₁, SK₂, … к сторонам равны?

Сверить рассуждение

Стороны перпендикулярны наклонным SKᵢ, значит, по теореме о трёх перпендикулярах, и их проекциям OKᵢ. Прямоугольные треугольники SOKᵢ имеют общий катет SO и равные гипотенузы, поэтому OKᵢ равны: O равноудалена от сторон.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Чтобы найти расстояние от точки D вне плоскости до прямой этой плоскости, проводят перпендикуляр к прямой из проекции точки D — по теореме о трёх перпендикулярах получается искомый перпендикуляр.

Теорема о трёх косинусах

ТЕОРЕМА О ТРЁХ КОСИНУСАХ

Угол α между прямой l и плоскостью λ, угол β между другой прямой m этой плоскости и проекцией на неё прямой l и угол γ между прямыми l и m связаны равенством cos α · cos β = cos γ.

Доказательство: пусть B — точка пересечения l с λ, AB = a, O — проекция A, C — основание перпендикуляра из A на m. По теореме о трёх перпендикулярах OC ⊥ m. Тогда BO = a cos α, BC = BO cos β = a cos α cos β и cos γ = BC : AB = cos α cos β.

ПРИМЕР 5 ИЗ ПАРАГРАФА

Угол между скрещивающимися прямыми

В пирамиде SABC ребро SA ⊥ (ABC), SA = 20, AB = 24, BC = 21, AC = 15. SC = √(20² + 15²) = 25, cos ∠SCA = 15 : 25 = 3/5. По теореме косинусов cos ∠BAC = (24² + 15² − 21²) : (2 · 24 · 15) = 1/2. Угол между SC и AB равен углу между SC и прямой CD ∥ AB, поэтому cos γ = 3/5 · 1/2 = 0,3, γ = arccos 0,3.

Из теоремы о трёх косинусах видно, что cos γ ≤ cos α, то есть γ ≥ α: угол между прямой и плоскостью не больше угла между этой прямой и любой прямой плоскости.

Главная мысль

Угол α между прямой l и плоскостью, угол β между прямой m этой плоскости и проекцией l и угол γ между l и m связаны равенством cos α · cos β = cos γ.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий из учебника (номера указаны в условии). Сделай рисунок, отметь перпендикуляр к плоскости, проекцию и, где нужно, примени теорему о трёх перпендикулярах. Если длина иррациональна, в задании спрашивается её квадрат.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Три перпендикуляра и угол с плоскостью

Сначала реши, верно ли утверждение, затем назови угол между прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде KLMNK₁L₁M₁N₁ (вопрос 9 к параграфу).

Думай как математик

Проекции и углы

Порассуждай сам, а потом сверь своё объяснение с образцом.

Пример 3*. Докажи: если точка S равноудалена от вершин многоугольника, то около него можно описать окружность с центром в основании O перпендикуляра SO.

Сверить рассуждение

Отрезки SA₁, SA₂, … — равные наклонные, OA₁, OA₂, … — их проекции. Прямоугольные треугольники SOAᵢ имеют общий катет SO и равные гипотенузы, поэтому OA₁ = OA₂ = … . Точка O плоскости многоугольника равноудалена от его вершин — это центр описанной окружности.

№ 305 а*). Один катет равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости, а второй образует с ней угол 45°. Докажи, что гипотенуза образует с плоскостью угол 30°.

Сверить рассуждение

Пусть катеты AC = BC = a, AC лежит в плоскости. Расстояние от B до плоскости равно BC · sin 45° = a√2/2. Гипотенуза AB = a√2. Синус угла между AB и плоскостью: (a√2/2) : (a√2) = 12, значит, угол 30°.

Пространственное моделирование (с. 118). Эскалатор наклонён к земле под углом 30°, лампы вдоль него стоят через a метров. Как по числу ламп оценить длину эскалатора и глубину станции?

Сверить рассуждение

Если вдоль эскалатора проехали n ламп, между ними n − 1 промежутков: длина AB ≈ (n − 1)a. Эскалатор — наклонная, глубина BC — перпендикуляр к плоскости земли, угол наклона 30°: BC = AB · sin 30° = (n − 1)a/2. Например, при 41 лампе и a = 3 м длина ≈ 120 м, глубина ≈ 60 м.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Если точка равноудалена от сторон многоугольника, основание перпендикуляра из неё — центр вписанной окружности; если от вершин — центр описанной.

В прямоугольном треугольнике «наклонная — перпендикуляр — проекция» угол φ с плоскостью находят так: sin φ = h : l, cos φ = p : l, tg φ = h : p.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.