§ 12. Вектор. Действия над векторами — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Вектор. Равные и коллинеарные векторы

С векторами вы встречались в физике: величина векторная, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением (сила, скорость). Основные определения и свойства векторов в стереометрии формулируются почти так же, как в планиметрии.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Вектор представляется направленным отрезком; его начало считается началом вектора, а конец — концом вектора. Длина вектора — расстояние между его началом и концом.

Направленные отрезки AB и CD представляют один вектор, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Тогда говорят, что векторы равны, и пишут $\vec{A B}$ = $\vec{C D}$ .

ПРИЗНАК РАВЕНСТВА

Векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков AD и BC.

Это похоже на дроби: число 1/2 можно записать дробями 2/4, 29/58, а один вектор — разными направленными отрезками. Если вектор $\vec{a}$ изображается отрезком AB, говорят, что он отложен от точки A; вектор можно, и притом однозначно, отложить от любой точки.

Вектор $\vec{A A}$ называют нулевым: $\vec{A A}$ = $\vec{0}$ . Векторы $\vec{A B}$ и $\vec{B A}$ называют противоположными: $\vec{B A}$ = − $\vec{A B}$ . Если ненулевые векторы отложены от одной точки: $\vec{a}$ = $\vec{A B}$ , $\vec{b}$ = $\vec{A C}$ , то угол BAC называют углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Ненулевые векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ называют коллинеарными, если прямые AB и CD параллельны или совпадают. Нулевой вектор считают коллинеарным с любым вектором.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Равные векторы в параллелепипеде

Грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому

\vec{A B}

\vec{D C}

\vec{A_{1} B_{1}}

\vec{D_{1} C_{1}}

. Невидимые рёбра и вектор

\vec{D C}

показаны штрихом.

Подумай и объясни

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ назовите векторы с концами в вершинах, равные векторам $\vec{A B}$ и $\vec{B B_{1}}$ (№ 382 а).

Сверить рассуждение

$\vec{A B}$ = $\vec{D C}$ = $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $\vec{D_{1} C_{1}}$ ; $\vec{B B_{1}}$ = $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{C C_{1}}$ = $\vec{D D_{1}}$ : соответствующие отрезки — противоположные стороны параллелограммов-граней, они параллельны, равны и одинаково направлены.

Главная мысль

$\vec{A B}$ = $\vec{C D}$ , если векторы одинаково направлены и имеют равные длины; это равносильно совпадению середин отрезков AD и BC.

Сложение векторов и умножение вектора на число

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Чтобы сложить векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ , второй заменяют равным ему вектором $\vec{B K}$ , начало которого совпадает с концом первого: $\vec{A B}$ + $\vec{C D}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{B K}$ = $\vec{A K}$ .

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произведением вектора $\vec{a}$ на число k называют такой вектор k $\vec{a}$ , что: векторы k $\vec{a}$ и $\vec{a}$ одинаково направлены при k > 0 и противоположно направлены при k < 0; длины связаны равенством |k $\vec{a}$ | = |k| · | $\vec{a}$ |. Если k = 0, то k $\vec{a}$ — нулевой вектор. Векторы $\vec{a}$ и k $\vec{a}$ коллинеарны.

Свойства действий над векторами

Свойство	Запись
переместительное	$\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$
сочетательное	$\vec{a}$ + ( $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ) = ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) + $\vec{c}$
разность	уравнение $\vec{a}$ + $\vec{x}$ = $\vec{b}$ имеет единственное решение $\vec{x}$ = $\vec{b}$ − $\vec{a}$
умножение на произведение	(m · n) $\vec{a}$ = m(n $\vec{a}$ )
распределительные	k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; (m + n) $\vec{a}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{a}$

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Цепочка векторов в параллелепипеде

\vec{A B}

\vec{B C}

\vec{C C_{1}}

\vec{A C_{1}}

: конец каждого вектора — начало следующего, сумма идёт из начала первого в конец последнего.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Диагональ параллелепипеда через рёбра

Так как $\vec{B C}$ = $\vec{A D}$ и $\vec{C C_{1}}$ = $\vec{A A_{1}}$ , получаем $\vec{A C_{1}}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ + $\vec{A A_{1}}$ .

Аналогично $\vec{B D_{1}}$ = $\vec{B A}$ + $\vec{A D}$ + $\vec{D D_{1}}$ = − $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ + $\vec{A A_{1}}$ .

ИССЛЕДУЙ САМ

Разложение вектора по рёбрам куба

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

$\vec{A B}$ + $\vec{B K}$ = $\vec{A K}$ ; вектор k $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{a}$ , а его длина равна |k| · | $\vec{a}$ |.

Компланарные векторы. Разложение вектора

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то один из них можно выразить через другой: $\vec{a}$ = n $\vec{b}$ или $\vec{b}$ = m $\vec{a}$ при определённых числах m и n.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Для любых двух векторов существует плоскость, которой они параллельны. Векторы, параллельные одной плоскости, называют компланарными.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то любой компланарный с ними вектор $\vec{c}$ можно однозначно выразить через них: $\vec{c}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ . Истинно и обратное: если $\vec{c}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ , то векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ компланарны.

ТЕОРЕМА 1

Если векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны, то для любого вектора $\vec{d}$ существует единственная упорядоченная тройка действительных чисел (m, n, k), такая, что $\vec{d}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ + k $\vec{c}$ .

Доказательство

Существование
Отложим векторы от одной точки: $\vec{a}$ = $\vec{O A}$ , $\vec{b}$ = $\vec{O B}$ , $\vec{c}$ = $\vec{O C}$ , $\vec{d}$ = $\vec{O D}$ . Через D проведём прямую l ∥ OC; D₁ — точка её пересечения с плоскостью OAB. Тогда $\vec{O D}$ = $\vec{O D_{1}}$ + $\vec{D_{1} D}$ .
Два слагаемых
Вектор $\vec{D_{1} D}$ коллинеарен ненулевому $\vec{O C}$ , поэтому $\vec{D_{1} D}$ = k $\vec{O C}$ . Вектор $\vec{O D_{1}}$ компланарен неколлинеарным $\vec{O A}$ и $\vec{O B}$ , поэтому $\vec{O D_{1}}$ = m $\vec{O A}$ + n $\vec{O B}$ . Итак, $\vec{O D}$ = m $\vec{O A}$ + n $\vec{O B}$ + k $\vec{O C}$ .
Единственность
Пусть есть две разные тройки (m, n, k) и (m₁, n₁, k₁). Вычтя равенства, получим (m₁ − m) $\vec{O A}$ + (n₁ − n) $\vec{O B}$ + (k₁ − k) $\vec{O C}$ = $\vec{0}$ . Если, например, k ≠ k₁, отсюда $\vec{O C}$ выражается через $\vec{O A}$ и $\vec{O B}$ , т. е. векторы компланарны — противоречие с условием.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

\vec{O D}

\vec{O D_{1}}

\vec{D_{1} D}

: точка D₁ лежит в плоскости векторов

\vec{a}

\vec{b}

, а

\vec{D_{1} D}

параллелен

\vec{c}

(рис. 344 учебника).

СЛЕДСТВИЕ 1

Из любых четырёх векторов пространства один можно выразить через три других. Итак: из двух коллинеарных векторов один выражается через другой, из трёх компланарных — через два других, из четырёх любых — через три других.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Если $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны, любой вектор единственным образом представляется в виде $\vec{d}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ + k $\vec{c}$ .

Координаты вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть выбрана декартова система координат Oxyz. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты (m; n; k), если $\vec{a}$ = $\vec{O A}$ и точка A имеет координаты (m; n; k). Записывают: $\vec{a}$ (m; n; k). Соответствие между точками и векторами с началом O взаимно однозначно.

ТЕОРЕМА 2

Если A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), то $\vec{A B}$ (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A).

Доказательство: пусть $\vec{A B}$ = $\vec{O M}$ . Тогда середины отрезков AM и BO совпадают: x_A + x_M2 = x_B + 02, т. е. x_A + x_M = x_B и x_M = x_B − x_A; так же для y и z.

ТЕОРЕМА 3

Если $\vec{a}$ (x_a; y_a; z_a), $\vec{b}$ (x_b; y_b; z_b), то $\vec{a}$ + $\vec{b}$ (x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b), k $\vec{a}$ (kx_a; ky_a; kz_a).

Векторы $\vec{i}$ (1; 0; 0), $\vec{j}$ (0; 1; 0), $\vec{k}$ (0; 0; 1) называют единичными координатными векторами. Следствие 2: если $\vec{a}$ (x_a; y_a; z_a), то $\vec{a}$ = x_a $\vec{i}$ + y_a $\vec{j}$ + z_a $\vec{k}$ .

Из теоремы 3 следует: ненулевые векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны (один вектор получается из другого умножением на число).

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Координаты векторов по координатам точек (№ 423 а)

A(2; 3; 1), B(0; 1; 3), C(−1; 3; 0), D(3; 1; 2).

$\vec{A B}$ (0 − 2; 1 − 3; 3 − 1) = (−2; −2; 2), $\vec{C D}$ (3 + 1; 1 − 3; 2 − 0) = (4; −2; 2), $\vec{A B}$ + $\vec{C D}$ = (2; −4; 4).

Точки M(1; 2; −3), K(3; 3; −1), P(5; 4; 1) лежат на одной прямой: $\vec{M K}$ (2; 1; 2), $\vec{M P}$ (4; 2; 4) = 2 $\vec{M K}$ (№ 429 б).

Частая ошибка

Неверно $\vec{A B}$ (x_A − x_B; y_A − y_B; z_A − z_B) — из координат начала вычли координаты конца.

Как рассуждать: Координаты вектора — разности «конец минус начало». Неверный порядок даёт противоположный вектор $\vec{B A}$ .

Главная мысль

$\vec{A B}$ (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A); при сложении векторов координаты складываются, при умножении на число — умножаются на это число.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа — упражнения учебника, номер указан в условии. Решай в тетради, затем введи ответ: координаты вектора или точки — в три поля x, y, z, дробь — как 3/4. В заданиях с выбором отметь верный ответ.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Как расположены векторы?

Определи, сонаправлены, противоположно направлены или не коллинеарны векторы; в задачах выбери ответ.

Думай как математик

Рассуждаем с векторами

Сначала порассуждай сам, потом сверь с образцом.

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D пространства AC + BD = AD + BC (векторы; № 389).

Сверить рассуждение

По правилу треугольника AC = AD + DC. Тогда AC + BD = AD + DC + BD = AD + (BD + DC) = AD + BC, так как BD + DC = BC. Сочетательное и переместительное свойства сложения позволяют переставлять слагаемые.

Ученик рассуждает: «Векторы a, b, c компланарны, значит, c = m·a + n·b при некоторых числах m и n». Всегда ли это верно?

Сверить рассуждение

Нет: утверждение верно, только если a и b неколлинеарны. Контрпример: a(1; 0; 0), b(2; 0; 0), c(0; 1; 0). Все три вектора параллельны плоскости xOy, т. е. компланарны, но m·a + n·b = (m + 2n; 0; 0) ни при каких m и n не равен c.

M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что для любой точки P векторы связаны равенством PM = 13·(PA + PB + PC) (№ 399).

Сверить рассуждение

Пусть K — середина BC. Тогда MB + MC = 2·MK, а MA = −2·MK, так как M делит медиану AK в отношении 2 : 1 от вершины. Значит, MA + MB + MC = 0. Отсюда PA + PB + PC = (PM + MA) + (PM + MB) + (PM + MC) = 3·PM, что и требовалось.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Векторы $\vec{A B}$ и $\vec{C D}$ равны, если они одинаково направлены и имеют равные длины; это равносильно совпадению середин отрезков AD и BC.

$\vec{A B}$ + $\vec{B K}$ = $\vec{A K}$ ; |k $\vec{a}$ | = |k| · | $\vec{a}$ |, при k < 0 вектор k $\vec{a}$ направлен противоположно $\vec{a}$ .

Если $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны, любой вектор единственным образом раскладывается: $\vec{d}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ + k $\vec{c}$ .

$\vec{A B}$ (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A); координаты суммы — суммы координат, координаты k $\vec{a}$ — координаты $\vec{a}$ , умноженные на k.

Из двух коллинеарных векторов один выражается через другой, из трёх компланарных — через два, из любых четырёх — через три других.

Ненулевые векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны; $\vec{a}$ = x_a $\vec{i}$ + y_a $\vec{j}$ + z_a $\vec{k}$ .

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.