ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Сечение многогранника
Если одна из фигур — многогранник, а вторая — плоскость, то их взаимное расположение характеризует та часть многогранника, которая принадлежит плоскости, — сечение многогранника плоскостью. Плоскость при этом называют секущей плоскостью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сечение многогранника
Секущая плоскость пересекает поверхность многогранника по отрезкам, а сечением многогранника плоскостью является один или несколько многоугольников.
Для построения сечения многогранника достаточно построить общие точки его граней и секущей плоскости.
Сечение пятиугольной призмы может быть семиугольником, а сечение «рамы» — невыпуклого многогранника — может состоять из двух четырёхугольников. Каждая сторона сечения лежит в своей грани, поэтому у сечения не больше сторон, чем граней у многогранника.
ПРИМЕР 1 ИЗ УЧЕБНИКА
Сечение пирамиды SABC плоскостью MNK
Подумай и объясни
Почему в примере 1 нельзя соединить точки M и K «через» грань SAB?
Сверить рассуждение
Сторона сечения — это отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Соединять можно только две точки, лежащие в одной грани: M и K обе лежат в грани SAC, поэтому сторона MK лежит в этой грани.
Главная мысль
Сечение многогранника — часть многогранника в секущей плоскости; его стороны — отрезки, по которым плоскость пересекает грани.
След секущей плоскости
Если точки в разных гранях
Часто данные точки не лежат попарно в одних гранях. Тогда сначала ищут точку, общую для секущей плоскости и плоскости ещё одной грани, — как пересечение двух прямых, лежащих в одной плоскости.
ПРИМЕР 2 ИЗ УЧЕБНИКА
Сечение пирамиды QABC плоскостью KLM
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
След плоскости
Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани. В примере 2 прямые KL и KN — следы плоскости α на плоскостях ABQ и ABC.
ПРИМЕР 3 ИЗ УЧЕБНИКА
Плоскость задана точкой и прямой
Плоскость β проходит через точку A на ребре OL пирамиды OKLMN и через прямую k в плоскости основания KLMN. Прямая k — след β на основании. Точка X = LM ∩ k лежит в β и в плоскости грани LOM, точка A — тоже. Значит, β пересекает грань LOM по отрезку AB, где B = AX ∩ OM.
Аналогично находим точки Y = KL ∩ k и D = AY ∩ OK, затем Z = MN ∩ k и C. Четырёхугольник ABCD — искомое сечение.
ИССЛЕДУЙ САМ
Сечения куба
Выбирай секущую плоскость и меняй ребро куба. Сначала предскажи ответ, потом открой вычисления.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, их соединяют; иначе ищут новую общую точку как пересечение прямых, лежащих в одной плоскости. Прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью грани — след.
Сечения призмы
Точки на рёбрах призмы
Пусть A, B, C — точки на разных рёбрах четырёхугольной призмы. Построение сечения зависит от того, на каких рёбрах лежат точки. Проще всего, когда A, B, C лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины: сечение — треугольник ABC.
ПРИМЕР 4 ИЗ УЧЕБНИКА
Метод следов: сечение призмы плоскостью ABC
Как строить сечение методом следов
- Две точки в одной грани
Соедини их — это сторона сечения.
- След на основании
Найди точки пересечения прямых секущей плоскости с плоскостью основания и проведи через них прямую.
- Новая точка на ребре
Пересеки след с прямой, содержащей ребро основания, — получишь точку в плоскости боковой грани; соедини её с известной точкой этой грани.
- Замкни многоугольник
Стороны сечения лежат в гранях; невидимые стороны проводят штрихом.
В примерах 5 и 6 учебника тем же способом получаются сечения четырёхугольной призмы — пятиугольник ABCED и шестиугольник ABDCEF.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Метод следов: строят след секущей плоскости на плоскости основания, затем с его помощью находят точки на остальных рёбрах.
Каким бывает сечение
Каким может быть сечение
| Многогранник | Граней | Сечение может быть |
|---|---|---|
| Треугольная пирамида | 4 | треугольником или четырёхугольником |
| n-угольная пирамида | n + 1 | многоугольником с числом сторон от 3 до n + 1 |
| n-угольная призма | n + 2 | многоугольником с числом сторон от 3 до n + 2 |
| Куб | 6 | треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником |
ПОСМОТРИ НА РИСУНОК
Шестиугольное сечение куба
ДИАГОНАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
Сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, и сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два несоседних боковых ребра, называют диагональными: они проходят через диагональ основания. У четырёхугольной пирамиды два диагональных сечения.
Разберём ошибку
Неверно Сечение куба может быть семиугольником, если провести плоскость «хитро».
Каждая сторона сечения лежит в своей грани, а у куба всего 6 граней. Поэтому у сечения куба не больше шести сторон.
Как рассуждать: сравни число сторон сечения с числом граней многогранника.
Главная мысль
Число сторон сечения не больше числа граней: у n-угольной пирамиды — до n + 1, у n-угольной призмы — до n + 2, у куба — до 6.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 задач из учебника (номера указаны в условии). Сделай рисунок в тетради, построй сечение и найди, что спрашивают. Если в ответе есть корень, введи число, о котором спрашивают (например, k в записи k√3).
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Задачи на закрепление
Закрепляем способ решения
Новые варианты задач: сечения куба, пирамиды и призмы, число сторон и диагональные сечения.
Тренажёр
Может ли это быть сечением куба?
Реши, может ли плоскость пересечь куб по такому многоугольнику. После ответа появится объяснение.
Думай как математик
Рассуждаем о сечениях
Подумай, потом сверь рассуждение с образцом.
Докажи, что сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через концы B, D, A₁ трёх рёбер, выходящих из вершины A, — правильный треугольник.
Сверить рассуждение
Точки B и D лежат в грани ABCD, D и A₁ — в грани ADD₁A₁, A₁ и B — в грани ABB₁A₁, поэтому сечение — треугольник BDA₁. Его стороны — диагонали трёх равных квадратов-граней, они равны a√2. Значит, треугольник правильный.
Найди ошибку: «Сечение треугольной пирамиды может быть пятиугольником: надо только, чтобы плоскость пересекла пять рёбер».
Сверить рассуждение
Стороны сечения лежат в гранях, причём в каждой грани — не больше одной стороны (выпуклая грань пересекается плоскостью по одному отрезку). У треугольной пирамиды 4 грани, значит, сечение — треугольник или четырёхугольник. А пересечь пять из шести рёбер плоскость не может.
Почему сечение куба не может быть правильным пятиугольником?
Сверить рассуждение
Пятиугольное сечение пересекает пять граней из шести. Среди пяти граней куба обязательно есть две пары противоположных (параллельных) граней, а параллельные плоскости секущая плоскость пересекает по параллельным прямым. Значит, у сечения есть две пары параллельных сторон. У правильного пятиугольника параллельных сторон нет.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Сечение многогранника плоскостью — один или несколько многоугольников; их стороны — отрезки, по которым плоскость пересекает грани.
Две точки секущей плоскости, лежащие в одной грани, соединяют — получается сторона сечения.
След секущей плоскости — прямая её пересечения с плоскостью грани; новые точки ищут как пересечение прямых, лежащих в одной плоскости.
Метод следов: сначала след на плоскости основания, затем точки на боковых рёбрах.
У сечения не больше сторон, чем граней: у n-угольной пирамиды до n + 1, у n-угольной призмы до n + 2, у куба до 6.
Сечение куба через концы трёх рёбер из одной вершины — правильный треугольник, через середины шести рёбер — правильный шестиугольник.
Проверь себяТест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.