ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Параллельные прямые в пространстве
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Параллельные прямые
Две прямые пространства называются параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Записывают: a ∥ b.
Важны оба условия: в пространстве есть прямые, которые не имеют общих точек, но и не лежат в одной плоскости.
ТЕОРЕМА 1
Единственность параллельной прямой
Через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Через точку M вне прямой a — одна параллельная прямая
Доказательство теоремы 1
- Плоскость.
Через прямую a и точку M вне её проходит единственная плоскость α (теорема 3 из § 2).
- Где искать прямую.
Прямая, проходящая через M параллельно a, лежит с прямой a в одной плоскости — это плоскость α.
- Планиметрия.
В плоскости α через точку M проходит единственная прямая b, параллельная a. Прямая b — искомая, и она единственная.
ТЕОРЕМА 2
Параллельные прямые и плоскость
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Идея доказательства
Пусть b ∥ c, прямая b пересекает плоскость β в точке M, γ — плоскость прямых b и c. Плоскости β и γ имеют общую точку M, значит, пересекаются по прямой l (аксиома 3). В плоскости γ прямая l пересекает b, поэтому пересекает и параллельную ей c в точке N, которая лежит в β. Другой общей точки K у прямой c и плоскости β нет: иначе c лежала бы в β (аксиома 2) и совпала бы с l, а это невозможно, так как b ∥ c и b пересекает l.
ТЕОРЕМА 3
Две прямые, параллельные третьей
Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и друг другу: m ∥ p и n ∥ p ⇒ m ∥ n.
Доказательство (кратко): через точку A прямой m и прямую n проводят плоскость α. Если бы m пересекала α, то по теореме 2 α пересекали бы p и n — но n лежит в α. Значит, m лежит в α. Пересечься m и n не могут: иначе через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные p, что противоречит теореме 1.
Подумай и объясни
Прямые a и b не имеют общих точек. Можно ли утверждать, что a ∥ b?
Сверить рассуждение
Нет. Для параллельности нужно ещё, чтобы прямые лежали в одной плоскости. Например, у куба ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и CC₁ общих точек не имеют, но не параллельны — они скрещиваются.
Главная мысль
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек; через точку вне прямой проходит единственная параллельная ей прямая, две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Параллелепипед и скрещивающиеся прямые
ТЕОРЕМА 4
Свойства параллелепипеда
У параллелепипеда: а) противоположные грани равны; б) все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Диагонали параллелепипеда
Почему это верно
- Грани ABCD и A₁B₁C₁D₁.
AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁ как противоположные стороны параллелограммов ABB₁A₁ и BCC₁B₁. Отрезки AA₁ и CC₁ параллельны и равны (каждый параллелен BB₁ и равен ему), поэтому ACC₁A₁ — параллелограмм и AC = A₁C₁. Тогда △ABC = △A₁B₁C₁ по трём сторонам, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, и параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны.
- Диагонали.
AA₁C₁C — параллелограмм, его диагонали AC₁ и CA₁ точкой пересечения O делятся пополам. DCB₁A₁ — параллелограмм, поэтому DB₁ проходит через середину CA₁, т. е. через O. Наконец, ABC₁D₁ — параллелограмм, поэтому BD₁ проходит через середину AC₁ — ту же точку O.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые
Три случая расположения двух прямых
| Прямые | Лежат в одной плоскости? | Общие точки |
|---|---|---|
| пересекаются | да | одна |
| параллельны | да | нет |
| скрещиваются | нет | нет |
ТЕОРЕМА 5
Признак скрещивающихся прямых
Если из двух прямых одна принадлежит некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.
Доказательство: пусть p ⊂ α, q пересекает α в точке A ∉ p. Если бы p и q лежали в одной плоскости β, то β содержала бы прямую p и точку A, т. е. совпала бы с α. Тогда q лежала бы в α — противоречие.
В модели выбери две прямые, проходящие через рёбра или диагонали граней куба. Определи их взаимное расположение и угол между ними, а затем открой вычисления. Для скрещивающихся прямых модель штрихом проводит через начало зелёной прямой прямую, параллельную оранжевой, — угол между ними и есть угол между скрещивающимися прямыми.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Выбирай прямые в списках. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Прямые, не лежащие в одной плоскости, скрещиваются; признак: одна прямая лежит в плоскости, другая пересекает её в точке вне первой прямой.
Угол между прямыми
Определения
Углом между пересекающимися прямыми называется величина одного из четырёх образовавшихся при этом углов, который не больше 90°.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.
ТЕОРЕМА 6
Определение корректно
Угол между пересекающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Поэтому угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки, через которую проводят параллельные прямые.
Идея доказательства: на прямых a и b от точки O откладывают равные отрезки OA, OB, OC и проводят через A, B, C прямые, параллельные OO₁. Получаются параллелограммы, поэтому AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, и треугольники AOC и A₁O₁C₁, BOC и B₁O₁C₁ равны по трём сторонам.
КАК ПОСТРОИТЬ
Угол между скрещивающимися прямыми
Выбирают точку A пространства и проводят через неё прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. Точку A удобно брать на одной из данных прямых: тогда достаточно провести одну прямую, параллельную другой.
Угол между параллельными прямыми считается равным нулю. Поэтому угол между прямыми — всегда от 0° до 90°.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Угол между скрещивающимися прямыми AB₁ и BC₁
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Перпендикулярные прямые
Прямые, угол между которыми равен 90°, называются перпендикулярными прямыми. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут скрещиваться. В прямоугольном параллелепипеде ACEGA₁C₁E₁G₁ прямые AC и AG пересекаются, а перпендикулярные прямые AC и EE₁ скрещиваются.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Подумай и объясни
Прямые XU и VT параллельны, прямые XY и VT скрещиваются, ∠YXU = 135° (№ 121 б). Чему равен угол между прямыми XY и VT?
Сверить рассуждение
XU ∥ VT, поэтому угол между XY и VT равен углу между пересекающимися прямыми XY и XU. При их пересечении образуются углы 135° и 180° − 135° = 45°. Угол между прямыми не больше 90°, значит, он равен 45°.
Главная мысль
Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными им; он от 0° до 90°, при 90° прямые перпендикулярны.
Параллельные прямые в задачах
ЗАДАЧА 1
Параллельность через среднюю линию
Диагонали грани L₁K₁M₁N₁ куба LKMNL₁K₁M₁N₁ пересекаются в точке A, а диагонали грани LL₁N₁N — в точке B; F и G — середины рёбер MM₁ и MN. Определите взаимное расположение прямых AB и FG.
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам, поэтому A — середина L₁M₁, B — середина L₁N. AB — средняя линия треугольника NL₁M₁, значит, AB ∥ NM₁. FG — средняя линия треугольника NMM₁, значит, FG ∥ NM₁. По теореме 3 AB ∥ FG.
ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ
Задача 2: средняя линия треугольника XYY₁
ЗАДАЧА 2
Отрезок, параллельные прямые и плоскость
Отрезок XY имеет с плоскостью β одну общую точку X. Через Y и середину Z отрезка XY проведены параллельные прямые, пересекающие β в точках Y₁ и Z₁; ZZ₁ = 10 см. Найдите YY₁.
Пересекающиеся прямые XY и YY₁ задают плоскость XYY₁, она пересекает β по прямой XY₁, и Z₁ ∈ XY₁. ZZ₁ — средняя линия треугольника XYY₁, поэтому YY₁ = 2ZZ₁ = 20 см.
ЗАДАЧА 4
Подобные треугольники в пирамиде
На ребре HX пирамиды HXYZ взята точка S, HS : SX = 2 : 5, через неё проведена прямая q ∥ HP, где HP — медиана грани HYZ. Отрезок прямой q внутри пирамиды равен 35 см. Найдите HP.
Прямая q лежит в плоскости HXP и пересекает XP в точке Q. △HXP ∼ △SXQ, поэтому HP : SQ = HX : SX = 7 : 5, HP = 35 · 75 = 49 см.
Разберём ошибку
Неверно «В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямые AB и B₁C₁ не пересекаются, значит, AB ∥ B₁C₁».
Отсутствие общих точек ещё не означает параллельности. Если бы AB ∥ B₁C₁, то, так как B₁C₁ ∥ BC, по теореме 3 было бы AB ∥ BC. Но AB и BC пересекаются в точке B.
Как рассуждать: AB лежит в плоскости грани ABB₁A₁, а прямая B₁C₁ пересекает эту плоскость в точке B₁, не лежащей на AB. По признаку (теорема 5) AB и B₁C₁ скрещиваются, угол между ними равен ∠ABC = 90°.
Главная мысль
Параллельность прямых в задачах доказывают через средние линии и теорему 3, а длины находят из подобия треугольников, лежащих в одной плоскости.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Задачи на закрепление
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
Тренажёр
Как расположены прямые в кубе?
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Для каждой пары прямых, проходящих через его рёбра или диагонали граней и тела, определи взаимное расположение. После ответа появится объяснение.
Думай как математик
Доказываем, что прямые скрещиваются
Рассуждай вслух, а потом сверь своё объяснение с образцом.
№ 118. Докажите, что если AB и CD — скрещивающиеся прямые, то AD и BC — также скрещивающиеся прямые.
Сверить рассуждение
Допустим противное: AD и BC лежат в одной плоскости α (пересекаются или параллельны). Тогда точки A, B, C, D лежат в α, а значит, и прямые AB и CD лежат в α. Но AB и CD скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости, — противоречие. Значит, AD и BC скрещиваются.
№ 196. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельной третьей прямой?
Сверить рассуждение
Нет. Если a ∥ c и b ∥ c, то по теореме 3 a ∥ b, т. е. прямые a и b лежат в одной плоскости. А скрещивающиеся прямые в одной плоскости не лежат.
№ 120. Прямая m пересекает прямую k и не пересекает прямую l, параллельную k. Докажите, что l и m скрещиваются.
Сверить рассуждение
Параллельные прямые k и l лежат в плоскости α. Если бы m лежала в α, то в этой плоскости m пересекала бы одну из параллельных прямых (k), а значит, и другую (l), — противоречие с условием. Поэтому m не лежит в α и пересекает её в точке M прямой k. Точка M не лежит на l (у k и l нет общих точек). По признаку (теорема 5) l и m скрещиваются.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Две прямые пространства параллельны, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек; через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает её; две различные прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
У параллелепипеда противоположные грани равны, а все диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются; признак скрещивающихся прямых: одна лежит в плоскости, другая пересекает плоскость в точке вне первой.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, им параллельными; угол между параллельными прямыми равен 0°.
Перпендикулярные прямые (угол 90°) могут как пересекаться, так и скрещиваться — например, прямые AB и CC₁ куба.
Проверь себяТест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.