§ 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Три случая расположения прямой и плоскости

Сколько общих точек

В пространстве у прямой и плоскости может быть ни одной общей точки, одна или более одной.

Если общих точек более одной, то по аксиоме 2 сама прямая принадлежит плоскости.

Единственная общая точка тоже возможна. Возьмём точку A на плоскости α и точку M вне её. Прямая l = AM не имеет с α других общих точек: иначе по аксиоме 2 она лежала бы в α вместе с точкой M, что противоречит выбору M.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пересекающиеся и параллельные

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Если прямая и плоскость не имеют общих точек, говорят, что прямая a параллельна плоскости α, и пишут a ∥ α.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Три случая расположения прямой и плоскости

Больше одной общей точки — прямая лежит в плоскости (аксиома 2); одна общая точка — прямая и плоскость пересекаются; нет общих точек — прямая параллельна плоскости. Справа штрихом — прямая b плоскости α, параллельная a.

Прямая и плоскость

Общие точки	Расположение	Запись
более одной	прямая принадлежит плоскости	a ⊂ α
одна	прямая и плоскость пересекаются	a ∩ α = A
нет	прямая и плоскость параллельны	a ∥ α

Подумай и объясни

Натянутые троллейбусные провода и плоскость земли (вопрос 3 учебника). Как они расположены?

Сверить рассуждение

Провода не имеют общих точек с землёй — в модели это прямая, параллельная плоскости. А столб, вкопанный в землю, — пример прямой, пересекающей плоскость.

Главная мысль

Прямая и плоскость могут не иметь общих точек (a ∥ α), иметь одну общую точку (пересекаться) или иметь более одной общей точки — тогда прямая лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

ТЕОРЕМА 7

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Признак параллельности прямой и плоскости

Прямая l не лежит в плоскости β и параллельна прямой k этой плоскости, поэтому l ∥ β. Параллельные прямые l и k лежат в одной плоскости (её следы показаны тонким штрихом).

Доказательство

Дано.
l ∥ k, k ⊂ β, l ⊄ β. Доказать: l ∥ β, т. е. у l и β нет общих точек.
Допустим противное.
Пусть l пересекает β в точке U. Точка U не лежит на k, так как k ∥ l.
Противоречие.
Тогда по признаку скрещивающихся прямых (теорема 5) прямые k и l скрещиваются. Это противоречит тому, что k ∥ l. Значит, l ∥ β.

ПРИМЕРЫ

Как применяют признак

Точки P и Q лежат в плоскости α, точка R — вне её. Средняя линия треугольника PQR, соединяющая середины PR и QR, параллельна PQ, а PQ ⊂ α. Значит, эта средняя линия параллельна α.

Вне плоскости прямоугольника UVXY выбрана точка R. UV ∥ XY и XY ⊂ (XYR), а UV не лежит в плоскости XYR, поэтому UV ∥ (XYR).

В модели — правильная четырёхугольная пирамида FABCD и точка X на ребре FC. Плоскость, проходящая через ребро AB и точку X, пересекает пирамиду по трапеции ABXY (задача 2). AB ∥ CD, поэтому по признаку AB ∥ (FCD), а по свойству из пункта 3 сечение пересекает грань FCD по отрезку XY ∥ CD. Меняй сторону основания и отношение FX : XC и находи длину XY.

ИССЛЕДУЙ САМ

Меняй параметры и объясняй результат

Меняй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Свойство прямой, параллельной плоскости

ТЕОРЕМА 8

Свойство прямой, параллельной плоскости

Линия пересечения плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, параллельна этой прямой.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Свойство прямой, параллельной плоскости

Прямая a параллельна плоскости α и лежит в плоскости β; b — линия пересечения α и β. Тогда a ∥ b (теорема 8).

Доказательство

Пусть a ∥ α, a ⊂ β и b — линия пересечения плоскостей α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости β. Они не пересекаются: иначе прямая a пересекала бы плоскость α. Значит, a ∥ b.

ПРИМЕР 1*

Плоскость через одну из скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой. Пусть a и b скрещиваются. Через точку U прямой a проведём прямую c ∥ b. Прямые a и c пересекаются и задают единственную плоскость α. Прямая b не лежит в α и параллельна прямой c ⊂ α, поэтому b ∥ α.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Задача 1: сечение KNHP

KN ∥ LM, поэтому KN ∥ (LOM). Плоскость KNP пересекает плоскость LOM по прямой PH ∥ KN ∥ LM; PH — средняя линия треугольника LOM.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Подумай и объясни

Прямая a параллельна плоскости α. Можно ли сказать, что a параллельна любой прямой плоскости α?

Сверить рассуждение

Нет. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая A₁B₁ параллельна плоскости ABC, но с прямой BC этой плоскости она скрещивается. Параллельны прямой a те прямые плоскости α, по которым α пересекают плоскости, проходящие через a (теорема 8).

Главная мысль

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Построение сечений

ЗАДАЧА 2

Сечение пирамиды плоскостью через ребро

Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды FABCD плоскостью α, проходящей через ребро AB и точку X на ребре FC.

α пересекает грань FAB по AB, грань FBC — по BX. ABCD — квадрат, AB ∥ CD, поэтому AB ∥ (FCD) (теорема 7). Плоскость α проходит через AB и пересекает плоскость FCD по прямой a ∥ AB (теорема 8). Прямая a проходит через X и пересекает FD в точке Y; XY ∥ AB и XY < AB. Грань FAD сечение пересекает по AY. Сечение — трапеция ABXY.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Задача 3*: сечение тетраэдра через середины рёбер

E, F, G — середины рёбер LN, LK, MK. EF ∥ NK, поэтому EF ∥ (MKN), и плоскость EFG пересекает грань MKN по отрезку GH ∥ NK. H — середина MN, HEFG — параллелограмм.

ЗАДАЧА 3*

Сечение через середины рёбер

E, F, G — середины рёбер LN, LK, MK треугольной пирамиды MNKL. Плоскость EFG пересекает ребро MN в точке H. EF — средняя линия треугольника LNK: EF ∥ NK, EF = 12NK. По признаку EF ∥ (MKN), а по теореме 8 GH ∥ EF ∥ NK. G — середина MK, поэтому GH — средняя линия треугольника MNK: H — середина MN и GH = 12NK.

EF ∥ GH и EF = GH, значит, HEFG — параллелограмм, а его диагонали EG и FH пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Разберём ошибку

Неверно «Прямая l параллельна прямой k, а k лежит в плоскости β. Значит, l ∥ β».

В признаке есть условие: прямая l не лежит в плоскости β. Если l ⊂ β (например, l и k — противоположные стороны квадрата в плоскости β), то l и β имеют бесконечно много общих точек.

Как рассуждать: l ∥ k, k ⊂ β и l ⊄ β ⇒ l ∥ β. Без последнего условия возможны два случая: l ∥ β или l ⊂ β.

Главная мысль

Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани, то грань она пересекает по прямой, параллельной этой прямой.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Прямая и плоскость в кубе

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Определи, как расположена прямая относительно плоскости: лежит в ней, пересекает её или параллельна ей. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Признак и свойство в доказательствах

Рассуждай вслух, а потом сверь своё объяснение с образцом.

№ 140. Прямая a параллельна плоскости α, точка T лежит в α. Докажите, что прямая, проходящая через T параллельно a, лежит в плоскости α.

Сверить рассуждение

Через прямую a и точку T проведём плоскость β. Она имеет с α общую точку T, поэтому пересекает α по прямой b, проходящей через T. По теореме 8 b ∥ a. По теореме 1 через T проходит только одна прямая, параллельная a, — это прямая b, а она лежит в α.

№ 142. Докажите, что если прямая не лежит в двух пересекающихся плоскостях и параллельна линии их пересечения, то она параллельна и этим плоскостям.

Сверить рассуждение

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой c, прямая l ∥ c и l не лежит ни в α, ни в β. Прямая c лежит в α, поэтому по признаку (теорема 7) l ∥ α. Так же c ⊂ β, и l ∥ β.

Найдите ошибку: «Прямая a параллельна плоскости α. Значит, a параллельна каждой прямой, лежащей в α».

Сверить рассуждение

Это неверно. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая A₁B₁ параллельна плоскости ABC, но прямая BC этой плоскости с A₁B₁ скрещивается. Верно другое: в плоскости α есть прямые, параллельные a, — это линии пересечения α с плоскостями, проходящими через a (теорема 8). Остальные прямые плоскости α с прямой a скрещиваются.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Прямая и плоскость могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку или лежать одна в другой: если общих точек больше одной, прямая принадлежит плоскости.

Прямая и плоскость, не имеющие общих точек, параллельны: a ∥ α; имеющие одну общую точку — пересекаются.

Признак: прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-либо прямой этой плоскости, параллельна плоскости.

Свойство: линия пересечения плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, параллельна этой прямой.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

При построении сечений: если плоскость сечения проходит через прямую, параллельную грани, то след на этой грани параллелен этой прямой (сечение пирамиды через ребро AB — трапеция).

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.