§ 6. Взаимное расположение плоскостей в пространстве — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Параллельные плоскости и их признак

Два случая

Две плоскости или имеют общую точку, или не имеют её. В первом случае по аксиоме 3 плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются по этой прямой. Во втором случае плоскости не пересекаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Параллельные плоскости

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными плоскостями: α ∥ β. Представление о параллельных плоскостях дают поверхности пола и потолка, противоположных стен комнаты.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Два случая расположения плоскостей

Если у двух плоскостей есть общая точка, то по аксиоме 3 они пересекаются по прямой. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

ТЕОРЕМА 9

Признак параллельности плоскостей

Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, параллельна этой плоскости.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Признак параллельности плоскостей

Пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β (например, параллельны прямым m₁ и n₁ этой плоскости), поэтому α ∥ β.

Доказательство

Дано.
Плоскость α проходит через пересекающиеся прямые m и n, m ∥ β, n ∥ β. Доказать: α ∥ β.
Допустим противное.
Пусть α пересекает β по прямой a. По теореме 8 прямая a параллельна и m, и n.
Противоречие.
Тогда по теореме 3 m ∥ n, а по условию m и n пересекаются. Значит, α ∥ β.

СЛЕДСТВИЯ

Следствия 1 и 2

Следствие 1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны (теорема 9 и признак параллельности прямой и плоскости).

Следствие 2. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, т. е. лежат в параллельных плоскостях. Например, грань AA₁B₁B параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ содержит прямые AB и AA₁, грань DD₁C₁C — прямые DC и DD₁, причём AB ∥ DC и AA₁ ∥ DD₁.

Подумай и объясни

Для проверки горизонтальности диска угломерного инструмента два уровня располагают в плоскости диска на пересекающихся прямых (№ 159). Почему их нельзя положить на параллельные прямые?

Сверить рассуждение

Признак требует двух пересекающихся прямых. Две параллельные горизонтальные прямые могут лежать и в наклонной плоскости (например, ступени пандуса), поэтому они не гарантируют, что плоскость диска горизонтальна.

Главная мысль

Плоскости, которые не пересекаются, параллельны; плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, параллельна ей.

Свойства параллельных плоскостей

ТЕОРЕМА 10

Свойство параллельных плоскостей

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью

Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b. Прямые лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, поэтому a ∥ b.

Доказательство

Пусть γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b. Если бы a и b имели общую точку Q, то Q лежала бы и в α (так как a ⊂ α), и в β (так как b ⊂ β), — но у параллельных плоскостей общих точек нет. Значит, a и b не пересекаются, а так как обе лежат в плоскости γ, то a ∥ b.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Пример 1: сечение параллелепипеда MNOP

M, N, O — середины рёбер DD₁, AA₁, A₁B₁. MN ∥ A₁D₁ и OP ∥ MN; NO ∥ MP по теореме 10 (грани AA₁B₁B и DD₁C₁C параллельны). Сечение MNOP — параллелограмм.

ПРИМЕР 1

Какая фигура в сечении

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ пересечён плоскостью, проходящей через середины M, N, O рёбер DD₁, AA₁, A₁B₁. MN — отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма AA₁D₁D, поэтому MN ∥ A₁D₁. Плоскость MNO проходит через MN ∥ (A₁B₁C₁D₁), поэтому пересекает верхнюю грань по прямой OP ∥ MN (теорема 8). Грани DD₁C₁C и AA₁B₁B параллельны, по теореме 10 NO ∥ MP. Итак, MN ∥ OP и NO ∥ MP: сечение MNOP — параллелограмм.

ТЕОРЕМА 11

Плоскость через точку

Через данную точку вне данной плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Существование: в плоскости α проводят пересекающиеся прямые k и l, через точку T — прямые k₁ ∥ k и l₁ ∥ l; плоскость прямых k₁ и l₁ параллельна α по признаку. Единственность доказывают от противного с помощью теоремы 10: вторая такая плоскость дала бы в плоскости, проходящей через T и k, две прямые через T, параллельные k.

Следствие 3. Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то эти две плоскости параллельны друг другу.

ДОКАЖИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Ещё три утверждения

1) Если прямая a пересекает плоскость β, то она пересекает и любую плоскость, параллельную β.

2) Если плоскости α и β параллельны и прямая l, проходящая через точку A плоскости β, параллельна α, то l лежит в β.

3) Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, есть многоугольник, подобный основанию.

Модель — к утверждению 3. Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды SABC, делит боковые рёбра в одном и том же отношении SA₁ : A₁A. Стороны сечения параллельны сторонам основания (теорема 10), треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом k = SA₁ : SA. Поэтому периметр сечения в k раз, а площадь в k² раз меньше, чем у основания.

ИССЛЕДУЙ САМ

Меняй параметры и объясняй результат

Меняй значения ползунками или вводи числа, выбери, что найти. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны; через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Отрезки между параллельными плоскостями

ТЕОРЕМА 12

Отрезки между параллельными плоскостями

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями

Плоскость прямых k ∥ l пересекает α и β по параллельным прямым AC и BD. ABDC — параллелограмм, поэтому AB = CD.

Доказательство

Пусть параллельные плоскости α и β высекают из параллельных прямых k и l отрезки AB и CD. Плоскость γ параллельных прямых k и l пересекает α и β по параллельным прямым AC и BD (теорема 10). В четырёхугольнике ABDC противоположные стороны параллельны, значит, это параллелограмм и AB = CD.

ПРИМЕР 2*

Три параллельные плоскости

Отрезки произвольных прямых, заключённые между тремя параллельными плоскостями, пропорциональны. Пусть α, β, γ высекают из прямой m отрезки AB и BC, а из прямой n — отрезки DE и EF. Через A проведём прямую, параллельную n; она пересекает β и γ в точках G и H. В треугольнике ACH BG ∥ CH, поэтому ABBC = AGGH. По теореме 12 AG = DE, GH = EF, значит, ABBC = DEEF.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Подумай и объясни

Параллельные отрезки T₁T₂, U₁U₂, V₁V₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (вопрос 13). Верно ли, что △T₁U₁V₁ = △T₂U₂V₂?

Сверить рассуждение

Да. По теореме 12 T₁T₂ = U₁U₂ = V₁V₂, и отрезки параллельны, поэтому T₁U₁U₂T₂, U₁V₁V₂U₂, T₁V₁V₂T₂ — параллелограммы. Значит, T₁U₁ = T₂U₂, U₁V₁ = U₂V₂, T₁V₁ = T₂V₂, и треугольники равны по трём сторонам.

Главная мысль

Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны; отрезки прямых между тремя параллельными плоскостями пропорциональны.

Скрещивающиеся прямые и параллельное проектирование

ПРИМЕР 3*

Скрещивающиеся прямые и пара плоскостей

Параллельные или пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, а скрещивающиеся прямые — единственную пару параллельных плоскостей. Пусть a и b скрещиваются. Через точку X прямой a проведём b₁ ∥ b, через точку Y прямой b — a₁ ∥ a. Пересекающиеся прямые a и b₁, b и a₁ задают плоскости, которые по признаку параллельны. Например, плоскости граней STUV и S₁T₁U₁V₁ параллелепипеда STUVS₁T₁U₁V₁ проходят через скрещивающиеся прямые TU и U₁V₁.

ЗАДАЧА 2

Параллельные плоскости в параллелепипеде

Докажите, что в параллелепипеде FGHIF₁G₁H₁I₁ плоскость F₁IG параллельна плоскости I₁HG₁.

GG₁ и II₁ параллельны и равны, поэтому GII₁G₁ — параллелограмм и GI ∥ G₁I₁, значит, GI ∥ (G₁I₁H). HI и G₁F₁ параллельны и равны, поэтому HIF₁G₁ — параллелограмм и IF₁ ∥ HG₁, значит, IF₁ ∥ (G₁I₁H). Пересекающиеся прямые GI и IF₁ плоскости GIF₁ параллельны плоскости G₁I₁H, по теореме 9 (F₁IG) ∥ (I₁HG₁).

Пространственное моделирование: параллельное проектирование

Пространственные фигуры изображают на бумаге с помощью параллельного проектирования. Пусть прямая b пересекает плоскость β. Через точку A проведём прямую b₁ ∥ b, она пересекает β в точке A₁. Точка A₁ называется проекцией точки A на плоскость β при проектировании параллельно прямой b; β — плоскость проекций, b задаёт направление проектирования.

Параллельной проекцией фигуры F называют множество F₁ проекций всех её точек. Пример — тень предмета на плоской поверхности при солнечном свете: солнечные лучи можно считать параллельными.

Именно поэтому на чертежах этого параграфа параллельные рёбра изображаются параллельными отрезками, а середина ребра — серединой отрезка.

Разберём ошибку

Неверно «Плоскости α и β параллельны, значит, отрезки любых прямых, заключённые между ними, равны».

Теорема 12 говорит только об отрезках параллельных прямых. Наклонная прямая высекает из того же «слоя» между плоскостями более длинный отрезок, чем прямая, идущая круче.

Как рассуждать: равенство отрезков следует из того, что они — противоположные стороны параллелограмма. Для непараллельных прямых параллелограмма нет; зато для трёх параллельных плоскостей отрезки любых прямых пропорциональны (пример 2*).

Главная мысль

Скрещивающиеся прямые определяют единственную пару параллельных плоскостей; пространственные фигуры изображают с помощью параллельного проектирования.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Верно или неверно?

Прочитай утверждение о параллельных плоскостях и реши, верно ли оно. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Параллельные плоскости в рассуждениях

Рассуждай вслух, а потом сверь своё объяснение с образцом.

№ 156. Три отрезка P₁P₂, Q₁Q₂, R₁R₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину O. Параллельны ли плоскости P₁Q₁R₁ и P₂Q₂R₂?

Сверить рассуждение

Да. Диагонали четырёхугольника P₁Q₁P₂Q₂ делятся точкой O пополам, поэтому он — параллелограмм и P₁Q₁ ∥ P₂Q₂. Так же P₁R₁ ∥ P₂R₂. Пересекающиеся прямые P₁Q₁ и P₁R₁ одной плоскости соответственно параллельны пересекающимся прямым P₂Q₂ и P₂R₂ другой, — по следствию 1 плоскости параллельны (они различны, так как отрезки не лежат в одной плоскости).

№ 202. Прямая a параллельна плоскости α. Существуют ли плоскости, проходящие через a и параллельные α? Сколько их?

Сверить рассуждение

Существует ровно одна. Возьмём точку A на прямой a. По теореме 11 через A проходит единственная плоскость β ∥ α. Прямая a проходит через точку A плоскости β и параллельна α, поэтому лежит в β (утверждение 2 пункта Б). Любая плоскость через a, параллельная α, проходит через A и по теореме 11 совпадает с β.

№ 200. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то линии их пересечения или параллельны, или имеют общую точку.

Сверить рассуждение

Пусть α ∩ β = a, β ∩ γ = b, α ∩ γ = c. Прямые a и b лежат в плоскости β. Если они пересекаются в точке O, то O лежит во всех трёх плоскостях, значит, и на прямой c: все три прямые проходят через O. Если a ∥ b, то a ∥ γ (признак: a не лежит в γ, иначе плоскости проходили бы через одну прямую). Плоскость α проходит через a ∥ γ и пересекает γ по c, по теореме 8 c ∥ a. Значит, все три прямые параллельны.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не имеют общих точек — тогда они параллельны: α ∥ β.

Признак: если плоскость проходит через две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, то плоскости параллельны; противоположные грани параллелепипеда параллельны.

Свойство: линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной; две плоскости, параллельные третьей, параллельны.

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны; сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию (площадь меньше в k² раз).

Параллельная проекция фигуры — множество проекций всех её точек; так изображают пространственные фигуры на плоскости.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.