§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Прямая, перпендикулярная плоскости

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут и скрещиваться: например, в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB перпендикулярно и пересекающемуся с ним ребру AA₁, и скрещивающемуся с ним ребру CC₁.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

Записывают: a ⊥ α. Говорят также, что плоскость α перпендикулярна прямой a.

Прямая l, перпендикулярная плоскости β, обязательно эту плоскость пересекает. Если бы l лежала в β или была ей параллельна, то в плоскости β нашлись бы прямые, параллельные l, а угол между ними не равен 90°.

Примеры из жизни: столбы с фонарями и колонны ставят перпендикулярно горизонтальной поверхности земли. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости: при определении угла между прямыми их можно заменять параллельными. Верно и обратное утверждение.

ТЕОРЕМА 1

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Рисунок к теореме 1

x ⊥ α и y ⊥ α

Через точку M прямой x проводим прямую x₁ ∥ y. Тогда x₁ ⊥ α. Если бы x₁ не совпала с x, то в плоскости прямых x и x₁ через точку M прошли бы две прямые, перпендикулярные линии пересечения этой плоскости с α, — так не бывает. Значит, x₁ совпадает с x и x ∥ y.

Пусть прямая l пересекает плоскость α и не перпендикулярна ей. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой l на плоскость α, образуют прямую l₁ — проекцию прямой l на плоскость α.

Главная мысль

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости; две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

Признак перпендикулярности

ТЕОРЕМА 2 · ПРИЗНАК

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Рисунок к теореме 2

p ⊥ a, p ⊥ b, значит p ⊥ m

Идея доказательства: через точку O проводят прямые, параллельные a, b и m, и секущую, пересекающую их в точках D, E, F. На p отмечают точки X и Y, равноудалённые от O. Тогда DX = DY и EX = EY, △XDE = △YDE, затем △XEF = △YEF, поэтому FX = FY. В равнобедренном △XFY медиана FO — высота, значит p ⊥ m.

Почему мало одной прямой?

Перпендикулярность одной прямой плоскости ничего не гарантирует: прямая может быть перпендикулярна прямой плоскости и при этом наклонена к самой плоскости. Две параллельные прямые тоже не помогают — нужны именно пересекающиеся.

СЛЕДСТВИЯ

Следствие 1. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Следствие 2. Если одной прямой перпендикулярны две плоскости, то они параллельны.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро CC₁ перпендикулярно рёбрам CB и CD (грани — прямоугольники). CB и CD пересекаются и лежат в плоскости ABCD, поэтому CC₁ ⊥ (ABCD). Значит, CC₁ перпендикулярно и диагонали AC основания.

ИССЛЕДУЙ САМ

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Меняй измерения параллелепипеда и выбирай отрезок. Сначала найди ответ сам, потом открой вычисления: в них видно, где работает перпендикулярность ребра и плоскости основания.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Через точку — одна плоскость и одна прямая

ТЕОРЕМА 3

Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Построение: если точка A не лежит на прямой l, в плоскости, заданной точкой A и прямой l, проводим AB ⊥ l, а через точку B — ещё одну прямую n ⊥ l. Плоскость, проходящая через AB и n, перпендикулярна l по признаку. Если A лежит на l, через A проводим две прямые m и n, перпендикулярные l. Единственность: если бы через A проходили две такие плоскости, то в плоскости, проходящей через l и A, через точку A прошли бы две прямые, перпендикулярные l.

ТЕОРЕМА 4

Через каждую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Единственность следует из теоремы 1: две прямые, перпендикулярные плоскости α, параллельны, а значит, не могут пересекаться в точке A.

Подумай и объясни

Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные плоскости γ. Могут ли эти прямые пересекаться?

Сверить рассуждение

Нет. По теореме 1 две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Если они совпадают, то P и Q лежат на одном перпендикуляре; в остальных случаях прямые параллельны и не пересекаются.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, и единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

СЛЕДСТВИЕ 3

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

AC₁² = AB² + AD² + AA₁².

Рисунок к следствию 3

Треугольники ABC и ACC₁ прямоугольные

CC₁ ⊥ (ABCD), поэтому △ACC₁ прямоугольный с прямым углом C: AC₁² = AC² + CC₁². Из прямоугольного △ABC: AC² = AB² + BC². Учитывая, что CC₁ = AA₁ и BC = AD, получаем AC₁² = AB² + AD² + AA₁².

ЗАДАЧА ИЗ ПАРАГРАФА

Ребро правильной пирамиды и плоскость

В правильной треугольной пирамиде DABC точка M — середина ребра BC. △ABC равносторонний, поэтому медиана AM — высота: BC ⊥ AM. △DBC равнобедренный, поэтому BC ⊥ DM. BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и DM плоскости ADM, значит BC ⊥ (ADM).

Рисунок к задаче

BC ⊥ (ADM)

Признак перпендикулярности работает и в пирамиде: ищем в плоскости две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной.

Разберём ошибку

Неверно «Прямая l перпендикулярна прямым a и b плоскости α, значит, l ⊥ α».

Признак требует, чтобы прямые a и b пересекались. Если a ∥ b, прямая l может быть не перпендикулярна плоскости.

Как рассуждать: проверь, что две прямые плоскости, которым перпендикулярна l, пересекаются.

Главная мысль

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: AC₁² = AB² + AD² + AA₁².

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий из учебника (номера указаны в условии). Сделай рисунок в тетради, отметь прямые углы, которые дают перпендикуляры к плоскости, затем введи ответ. В заданиях с выбором отметь верный вариант.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Перпендикулярна ли прямая плоскости?

Для каждой ситуации реши: прямая обязательно перпендикулярна плоскости или это не гарантировано. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Почему нужны две пересекающиеся прямые

Порассуждай сам, а потом сверь своё объяснение с образцом.

Миша пишет: «Прямая l перпендикулярна рёбрам AB и CD параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, лежащим в плоскости ABC, значит, l ⊥ (ABC)». Найди ошибку.

Сверить рассуждение

Рёбра AB и CD параллельны, а признак перпендикулярности требует двух пересекающихся прямых плоскости. Например, прямая AA₁ наклонного параллелепипеда может быть перпендикулярна AB и CD, но не перпендикулярна основанию. Нужно добавить перпендикулярность, например, ребру AD.

Докажи, что прямая, перпендикулярная плоскости, обязательно её пересекает.

Сверить рассуждение

Пусть l ⊥ β, но l лежит в β или l ∥ β. В обоих случаях в плоскости β есть прямая, параллельная l (сама l или прямая, по которой β пересекается с плоскостью, проходящей через l). Угол между параллельными прямыми равен 0°, а не 90°, — противоречие с тем, что l перпендикулярна каждой прямой плоскости β.

Пространственное моделирование (с. 97). Ученик проверил, что первый столб забора вертикален, а потом убедился, что второй столб такой же высоты и расстояния между столбами снизу и сверху равны. Обеспечивает ли это вертикальность второго столба?

Сверить рассуждение

Нет. Пусть столбы AA₁ и BB₁ высотой 3 м, AB = A₁B₁ = 3 м. Верх второго столба можно сдвинуть на 1 м к первому столбу и на 2 м вбок, оставив его на высоте 2 м: тогда BB₁² = 1 + 4 + 4 = 9 и A₁B₁² = (3 − 1)² + 2² + (3 − 2)² = 9 — все измерения те же, а столб наклонён. Четырёхугольник ABB₁A₁ с равными противоположными сторонами в пространстве не обязательно плоский, поэтому он не обязан быть параллелограммом. Надёжнее проверить вертикальность второго столба так же, как первого (отвесом).

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая; прямая, перпендикулярная одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны; перпендикуляр к плоскости даёт прямые углы со всеми прямыми плоскости — отсюда прямоугольные треугольники в задачах.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.