ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Перпендикуляр и наклонная
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Перпендикуляр, наклонная, проекция
Пусть M — точка вне плоскости α, прямая l проходит через M перпендикулярно α и пересекает её в точке A. Отрезок MA называется перпендикуляром к плоскости, проведённым из точки M, а точка A — основанием перпендикуляра.
Если B — другая точка плоскости α, то отрезок MB называется наклонной к плоскости, B — основанием наклонной, а отрезок AB — проекцией наклонной на плоскость α.
Перпендикуляр и наклонные
MA ⊥ α; MB, MC — наклонные
СВОЙСТВА
Свойства перпендикуляра и наклонных
Если из одной точки вне плоскости проведены к этой плоскости две наклонные, то: а) наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой; б) та наклонная больше, проекция которой больше; в) равные наклонные имеют равные проекции; г) большая наклонная имеет большую проекцию.
ТЕОРЕМА 5
Перпендикуляр к плоскости, проведённый из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведённой из той же точки.
Доказательство: перпендикуляр MA и наклонная MB — катет и гипотенуза прямоугольного треугольника MAB, поэтому MA < MB. Значит, из всех расстояний от данной точки до точек плоскости наименьшее — измеренное по перпендикуляру.
Главная мысль
Если из одной точки проведены к плоскости две наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции и больше та наклонная, у которой больше проекция; перпендикуляр короче любой наклонной.
Расстояние от точки до плоскости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.
Когда говорят, что уличный фонарь находится на высоте 8 м, имеют в виду расстояние от фонаря до поверхности земли, измеренное по перпендикуляру.
ЗАДАЧА 1 ИЗ ПАРАГРАФА
Точка, равноудалённая от вершин треугольника
Точка M отстоит на 40 см от каждой вершины правильного треугольника ABC со стороной 60 см. Пусть MD ⊥ (ABC). Равные наклонные MA, MB, MC имеют равные проекции, поэтому D — центр описанной окружности: AD = 60√3/3 = 20√3 см. Из прямоугольного △ADM: MD = √(40² − (20√3)²) = √(1600 − 1200) = 20 см.
ИССЛЕДУЙ САМ
Перпендикуляр и наклонные
Меняй длину перпендикуляра и проекции наклонных. Сравни наклонные по их проекциям, затем найди нужную величину и проверь себя.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.
Параллельные плоскости, прямая и плоскость
ТЕОРЕМА 6
Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра.
Рисунок к теореме 6
AA₁ = XX₁
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Расстояние между параллельными плоскостями
Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости.
Все точки одной стены комнаты находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стены — это ширина комнаты.
ТЕОРЕМА 7
Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно перпендикуляру, проведённому из какой-либо точки прямой к плоскости.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки прямой к плоскости.
Все точки края стола находятся на одном расстоянии от пола — это высота стола.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Расстояние между параллельными плоскостями (между прямой и параллельной ей плоскостью) — длина перпендикуляра из любой точки одной плоскости (прямой) к другой плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
ТЕОРЕМА 8
Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Из доказательства теоремы 8 следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми
- а) Общий перпендикуляр
Построить отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим, и найти его длину.
- б) Прямая и параллельная плоскость
Провести через одну прямую плоскость, параллельную другой, и найти расстояние от другой прямой до этой плоскости.
- в) Две параллельные плоскости
Провести две параллельные плоскости, содержащие данные прямые, и найти расстояние между плоскостями.
- г) Проекция на плоскость
Построить плоскость, перпендикулярную одной из прямых, спроектировать на неё другую прямую и найти расстояние от точки-проекции первой прямой до проекции второй.
Пример 1 из параграфа
Расстояние между AB и A₁C₁ равно ребру
А если взять диагонали соседних граней?
Пример 3: расстояние между прямыми AB₁ и A₁C₁ куба с ребром a равно a√3/3. Плоскости AB₁C и A₁C₁D параллельны и перпендикулярны диагонали BD₁ и делят её на три равные части; общий перпендикуляр этих плоскостей — средняя часть диагонали, BD₁ : 3 = a√3/3.
Разберём ошибку
Неверно «Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CC₁ куба равно AC₁ — это отрезок, соединяющий точки прямых».
Расстояние — это длина общего перпендикуляра, а не любого отрезка между прямыми. AC₁ не перпендикулярен ни AB, ни CC₁.
Как рассуждать: BC ⊥ AB и BC ⊥ CC₁, поэтому BC — общий перпендикуляр и расстояние равно ребру куба.
Главная мысль
Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр; его длина — расстояние между этими прямыми.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий из учебника (номера указаны в условии). Сделай рисунок, найди прямоугольные треугольники с перпендикуляром к плоскости, затем введи ответ. Если длина иррациональна, в задании спрашивается её квадрат.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Задачи на закрепление
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
Тренажёр
Какое это расстояние?
В прямоугольном параллелепипеде PQRSP₁Q₁R₁S₁ и в жизни встречаются разные расстояния. Определи, какое расстояние выражает отрезок. После ответа появится объяснение.
Думай как математик
Почему перпендикуляр — самый короткий
Порассуждай сам, а потом сверь своё объяснение с образцом.
Докажи свойства наклонных: если из точки M к плоскости проведены наклонные MB и MC, то MB = MC тогда и только тогда, когда их проекции равны, и MB > MC тогда и только тогда, когда проекция MB больше.
Сверить рассуждение
Пусть MA — перпендикуляр. Треугольники MAB и MAC прямоугольные: MB² = MA² + AB², MC² = MA² + AC². Слагаемое MA² общее, поэтому MB² − MC² = AB² − AC². Разности имеют один знак: MB = MC ⇔ AB = AC, MB > MC ⇔ AB > AC.
№ 248. Из точки A к плоскости α проведены четыре равные наклонные AX, AY, AZ, AT. Лежат ли точки X, Y, Z, T на одной окружности с центром в проекции O точки A?
Сверить рассуждение
Да. Равные наклонные имеют равные проекции: OX = OY = OZ = OT = √(AX² − AO²). Все четыре точки лежат в плоскости α на одном расстоянии от точки O этой плоскости, то есть на окружности с центром O.
Найди ошибку: «Ребро куба 1. Расстояние между прямыми AB и CC₁ равно AC₁ = √3, ведь AC₁ соединяет точку прямой AB с точкой прямой CC₁».
Сверить рассуждение
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра, а не любого соединяющего отрезка. BC ⊥ AB (грань — квадрат) и BC ⊥ CC₁, поэтому BC — общий перпендикуляр и расстояние равно 1. Любой другой отрезок между прямыми длиннее: например, AC₁ = √3 > 1.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Если из одной точки проведены к плоскости две наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции и больше та наклонная, у которой больше проекция; перпендикуляр короче любой наклонной.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями (между прямой и параллельной ей плоскостью) — длина перпендикуляра из любой точки одной плоскости (прямой) к другой плоскости.
Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр; его длина — расстояние между этими прямыми.
Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра из неё — центр описанной около многоугольника окружности (равные наклонные — равные проекции).
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, которая содержит другую прямую и параллельна первой.
Проверь себяТест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.