ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Допустимые аргументы
Граница нулевого аргумента исключается даже при нестрогом знаке неравенства. Условия ОДЗ и полученное неравенство выполняются одновременно.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₂(x−1)≤2: x>1 и x−1≤4, значит 1<x≤5.
ОДЗ нельзя заменить нестрогим знаком
При нестрогом логарифмическом неравенстве граница, на которой аргумент равен нулю, всё равно исключена. Логарифм нуля не определён. Граница равенства значений логарифмов может включаться, если удовлетворяет ОДЗ. Поэтому в одном ответе часто соседствуют круглая и квадратная скобки.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log₂(x−2)≤3 → 0<x−2≤8 → 2<x≤10. В ответе (2;10] слева исключается нулевой аргумент, справа допускается равенство.
Маршрут рассуждения
- Допустимые аргументы
Каждый аргумент логарифма строго положителен; основание положительно и не равно 1.
- Возрастающий логарифм
При a>1: logₐf(x)>logₐg(x) ⇔ f(x)>g(x) на общей ОДЗ.
- Убывающий логарифм
При 0<a<1 направление между положительными аргументами меняется.
- Замена и интервалы
Для квадратного выражения относительно logₐx введи t=logₐx и реши неравенство по t.
Главная мысль
Каждый аргумент логарифма строго положителен; основание положительно и не равно 1.
Возрастающий логарифм
Число справа можно записать как логарифм aᵇ. Для logₐf(x)>b получится f(x)>aᵇ; для знака меньше добавь нижнюю границу f(x)>0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₃x<2 → 0<x<9.
Сравниваем два логарифма
Если основания одинаковы и больше единицы, сравниваем аргументы в прежнем направлении, но сохраняем положительность обоих. Иногда одно из ограничений становится лишним после пересечения, однако это нужно вывести, а не предположить. При разных основаниях прямое сравнение аргументов неприменимо.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log₂(x−1)>log₂(5−x): ОДЗ 1<x<5. Из x−1>5−x получаем x>3. Пересечение даёт 3<x<5; правый конец ограничивает второй логарифм.
Одновременно неравенство и ОДЗ
| Исходная запись | Система условий | Ответ |
|---|---|---|
| log₂x≤2 | x>0; x≤4 | (0;4] |
| log₁/₂x≤2 | x>0; x≥14 | [14;+∞) |
| log₂(x−1)<0 | x>1; x−1<1 | (1;2) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При a>1: logₐf(x)>logₐg(x) ⇔ f(x)>g(x) на общей ОДЗ.
Убывающий логарифм
Убывающая функция даёт большее значение при меньшем аргументе. Сохраняй ОДЗ отдельно, чтобы не забыть левую границу.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₁/₂x≥−2 → 0<x≤4.
Дробное основание и порядок концов
Убывающий логарифм меняет направление неравенства между аргументами. В двойном неравенстве после обратного перехода может оказаться, что степени записаны в порядке от большего к меньшему. Переставь концы и затем проверь скобки. Не меняй знак условий ОДЗ: они не зависят от возрастания или убывания функции.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
1≤log₁/₂x≤2 означает (12)²≤x≤(12)¹. Ответ [14;12]. Условие x>0 выполнено на всём отрезке.
Подумай и объясни
Решение log₁/₂x>0 равно…
Сверить рассуждение
0<x<1. При 0<a<1 направление между положительными аргументами меняется.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При 0<a<1 направление между положительными аргументами меняется.
Замена и интервалы
Обратно переведи каждую границу с учётом монотонности. При дробном основании порядок концов меняется. После объединения промежутков ещё раз проверь включение границ.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(log₂x)²−3log₂x+2≤0 → 1≤t≤2 → 2≤x≤4.
Квадратное неравенство по логарифму
Для t=logₐx решай неравенство методом интервалов так же, как обычное квадратное. t может быть отрицательным. Если решение по t состоит из двух лучей, каждый переводится к x отдельно. После этого объедини допустимые интервалы. Полезно проверить точку при x=1: её логарифм ноль для любого допустимого основания.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
(log₂x)²−log₂x−2>0 → (t−2)(t+1)>0 → t<−1 или t>2. Получаем 0<x<12 или x>4; точки 12 и 4 исключены.
Разберём ошибку
Неверно Решение 1≤log₂x≤2 равно… — 1≤x≤2
Для квадратного выражения относительно logₐx введи t=logₐx и реши неравенство по t.
Как рассуждать: Верный ответ: 2≤x≤4.
Главная мысль
Для квадратного выражения относительно logₐx введи t=logₐx и реши неравенство по t.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Каждый аргумент логарифма строго положителен; основание положительно и не равно 1.
При a>1: logₐf(x)>logₐg(x) ⇔ f(x)>g(x) на общей ОДЗ.
При 0<a<1 направление между положительными аргументами меняется.
Для квадратного выражения относительно logₐx введи t=logₐx и реши неравенство по t.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.