§ 1. Призма

Соответствующие вершины оснований соединены параллельными равными боковыми рёбрами. Высота — расстояние между плоскостями оснований. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому высота равна ребру. В наклонной это разные отрезки. Правильная призма — прямая призма с правильным многоугольником в основании. Диагональное сечение проходит через диагональ основания и параллельно боковым рёбрам.

Разрежь боковую поверхность прямой призмы по одному ребру: получится полоса из прямоугольников одной высоты. Сумма их ширин равна периметру основания. У наклонной призмы формула с периметром основания неверна в общем случае: используют Sбок=Pперп·l, где Pперп — периметр сечения, перпендикулярного боковым рёбрам, l — боковое ребро.

Представь тело как стопку тонких одинаковых по площади слоёв. Горизонтальный сдвиг слоёв меняет наклон рёбер, но не площадь каждого слоя и не общую высоту. Поэтому при одинаковых основании и высоте объёмы прямой и наклонной призм равны. Для перпендикулярного сечения также верно V=Sперп·l.

Почему наклон не меняет объём

Мысленно разрежь призму плоскостями, параллельными основаниям. Каждое сечение равно основанию. Сравним её с прямой призмой той же высоты и с таким же основанием: на любом уровне площади слоёв совпадают. По принципу Кавальери объёмы равны. При этом длины боковых рёбер у двух призм могут различаться — они не измеряют толщину всей стопки.

У прямоугольного параллелепипеда с измерениями a,b,c квадрат пространственной диагонали равен a²+b²+c². Сначала теорема Пифагора даёт диагональ грани, затем применяется ещё раз в диагональном сечении. Для наклонного ребра l и его проекции p на основание получаем h²=l²−p². Не измеряй угол по перспективному рисунку.