ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Простейшее уравнение
Правая часть aᵇ положительна, поэтому полученное равенство автоматически обеспечивает положительность f(x). Остальные ограничения исходного уравнения всё равно учитываются.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₂(x−1)=3 → x−1=8 → x=9; аргумент 8>0.
Отдельная строка для ОДЗ
Каждый логарифм проверяется отдельно. Если в уравнении есть знаменатели, добавь их ненулевость. При переменном основании добавляются a(x)>0 и a(x)≠1. Решение обычного уравнения после преобразования даёт кандидатов; окончательный ответ содержит только допустимые значения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log₂(x−2)=1 требует x>2 и даёт x−2=2, x=4. Для log_(x−1)4=2 дополнительно x>1,x≠2; получаем x−1=2 и x=3.
Маршрут рассуждения
- Простейшее уравнение
logₐf(x)=b ⇔ f(x)=aᵇ при допустимом основании.
- Равные логарифмы
logₐf(x)=logₐg(x) ⇔ f(x)=g(x) при f(x)>0 и g(x)>0.
- Свойства и замена
Собирай логарифмы при сохранении исходной ОДЗ; при повторяющемся logₐx используй t=logₐx.
- Проверка исходной записи
Подставляй корни в исходные аргументы, знаменатели и переменные основания.
Главная мысль
logₐf(x)=b ⇔ f(x)=aᵇ при допустимом основании.
Равные логарифмы
Равенство аргументов без положительности может дать посторонние корни. Сначала запиши ОДЗ, затем реши обычное уравнение и пересеки ответ с ОДЗ.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₂(x−1)=log₂(3−x): 1<x<3; x−1=3−x → x=2, подходит.
Посторонний корень при объединении
Сумма логарифмов позволяет упростить запись, но не отменяет исходную ОДЗ. Если вместо двух положительных аргументов остаётся положительность произведения, новая область может расшириться. Удобно решить алгебраическое уравнение, затем проверить каждое исходное неравенство для кандидата.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log₂(x−1)+log₂(x+1)=3: ОДЗ x>1. Получаем x²−1=8 и кандидаты ±3. Только 3 подходит; −3 даёт оба исходных аргумента отрицательными.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
logₐf(x)=logₐg(x) ⇔ f(x)=g(x) при f(x)>0 и g(x)>0.
Свойства и замена
В отличие от t=aˣ, логарифмическая замена допускает любое действительное t. Обратно x=aᵗ>0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(log₂x)²−3log₂x+2=0 → t=1 или 2 → x=2 или 4.
Замена логарифма отличается от замены степени
При t=logₐx переменная t принимает любое действительное значение, поэтому отрицательные корни по t не отбрасывают. При обратной замене x=aᵗ все результаты положительны. Это противоположно показательному уравнению с t=aˣ, где t≤0 сразу запрещены.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
(log₂x)²+log₂x−2=0 → (t+2)(t−1)=0. Оба t=−2 и t=1 подходят, поэтому x=14 или x=2. Проверка по ОДЗ: оба положительны.
Подумай и объясни
Какое ограничение у t=log₂x?
Сверить рассуждение
t∈ℝ. Собирай логарифмы при сохранении исходной ОДЗ; при повторяющемся logₐx используй t=logₐx.
Проверка после объединения логарифмов
1
log₂(x−1)+log₂(x+1)=3
2
ОДЗ: x>1
3
(x−1)(x+1)=8 → x²=9
4
Из −3 и 3 условию x>1 отвечает только 3
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Собирай логарифмы при сохранении исходной ОДЗ; при повторяющемся logₐx используй t=logₐx.
Проверка исходной записи
Если основание зависит от x, оно тоже должно быть положительно и не равно 1. Раскрытие произведения не должно незаметно расширять область.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log_x4=2 → x²=4; основание x>0, x≠1 оставляет только x=2.
Когда основание неизвестно
Равенство log_x b=c по определению даёт xᶜ=b, но значение x=1 и неположительные x исключены ещё до решения. При c=0 равенство возможно только при b=1; тогда подходит любое допустимое основание. Если при решении появились корни чётной степени, отрицательный кандидат не может стать основанием действительного логарифма.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log_x9=2 → x²=9 → кандидаты ±3; подходит только x=3. А log_x1=0 верно для всех x>0,x≠1.
Разберём ошибку
Неверно Решение log_x4=2 равно… — −2 и 2
Подставляй корни в исходные аргументы, знаменатели и переменные основания.
Как рассуждать: Верный ответ: 2.
Главная мысль
Подставляй корни в исходные аргументы, знаменатели и переменные основания.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
logₐf(x)=b ⇔ f(x)=aᵇ при допустимом основании.
logₐf(x)=logₐg(x) ⇔ f(x)=g(x) при f(x)>0 и g(x)>0.
Собирай логарифмы при сохранении исходной ОДЗ; при повторяющемся logₐx используй t=logₐx.
Подставляй корни в исходные аргументы, знаменатели и переменные основания.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.