§ 3. Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Определение

Основание и аргумент положительны; основание 1 исключено, потому что его степени не позволяют однозначно найти показатель. Логарифм сам может быть отрицательным или нулевым.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

log₂8=3, так как 2³=8. log₂(14)=−2, так как 2⁻²=14.

Логарифм — ответ, а не множитель

В записи logₐb три роли: a — основание, b — аргумент, весь логарифм — показатель. При переходе к степени основание остаётся основанием, значение логарифма становится показателем, аргумент — результатом. Данная логарифмическая запись существует и однозначна потому, что aˣ при допустимом a принимает каждое положительное значение ровно один раз.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Ещё один разбор

log₄8=c означает 4ᶜ=8. Запишем 2^(2c)=2³, поэтому c=32. Логарифм не обязан быть целым числом.

Маршрут рассуждения

Определение
logₐ b=c означает aᶜ=b; a>0, a≠1, b>0.
Особые значения
logₐ1=0 и logₐa=1.
Основное тождество
a^(logₐb)=b при a>0, a≠1, b>0.
Вычисление через общую основу
Представь аргумент степенью основания и найди показатель.

Главная мысль

logₐ b=c означает aᶜ=b; a>0, a≠1, b>0.

Особые значения

Любое допустимое основание в нулевой степени даёт 1, а в первой — себя. Эти значения не зависят от того, больше основание единицы или меньше.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

log₀,₅1=0, log₀,₅0,5=1.

Десятичный логарифм lg

Основание десять принято не писать: lg b=log₁₀b, при b>0. Это то же определение, а не новая операция. Степени десяти связывают логарифм с порядком величины. Не считай цифры после запятой механически: аргумент должен быть именно соответствующей степенью десяти.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Ещё один разбор

lg 1000=3, lg 0,001=−3, lg 1=0. Но lg 0,002 не равен −3, поскольку 10⁻³=0,001. Можно лишь заключить, что −3<lg 0,002<−2.

ИССЛЕДУЙ САМ

Меняй параметры и объясняй результат

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

logₐ1=0 и logₐa=1.

Основное тождество

Возведение в степень и логарифмирование с тем же основанием отменяют друг друга. Но сначала проверь допустимость исходной записи.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

3^(log₃7)=7. Запись 3^(log₃(−7)) не определена в действительных числах.

Два взаимно обратных действия

Кроме a^(logₐb)=b существует равенство logₐ(aᶜ)=c для любого действительного c при допустимом a. Положительность аргумента во втором равенстве обеспечена самой степенью aᶜ. В первом её нужно проверить отдельно. Если в показателе стоит дополнительный множитель, сначала примени свойства степеней, а не стирай все символы сразу.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Ещё один разбор

2^(3log₂5)=(2^(log₂5))³=5³=125. Это не 15: множитель 3 находится в показателе и приводит к кубу.

Подумай и объясни

Можно ли применить тождество при b<0?

Сверить рассуждение

Нет. a^(logₐb)=b при a>0, a≠1, b>0.

Три роли в одном равенстве

2³=8: основание 2, показатель 3, результат 8

log₂8=3: ищем показатель

2^(log₂8)=8: возвращаемся к результату

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

a^(logₐb)=b при a>0, a≠1, b>0.

Вычисление через общую основу

Если основание дробное, удобно переписать его как отрицательную степень целого числа. Уравниваются показатели одной и той же положительной основы.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

log₁/₂8=c: (2⁻¹)ᶜ=2³, значит −c=3 и c=−3.

Основание меньше единицы

Отрицательный логарифм положительного числа не является ошибкой. При основании 0<a<1 отрицательный показатель даёт результат больше 1. Чтобы вычислить точно, запиши и основание, и аргумент степенями одной положительной основы. Получишь линейное уравнение для искомого показателя.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Ещё один разбор

log₁/₄8=c → (2⁻²)ᶜ=2³ → −2c=3 → c=−32. Проверка: (14)^(−32)=4^(32)=8.

Разберём ошибку

Неверно Чему равен log₁/₂8? — 3

Представь аргумент степенью основания и найди показатель.

Как рассуждать: Верный ответ: −3.

Главная мысль

Представь аргумент степенью основания и найди показатель.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

logₐ b=c означает aᶜ=b; a>0, a≠1, b>0.

logₐ1=0 и logₐa=1.

a^(logₐb)=b при a>0, a≠1, b>0.

Представь аргумент степенью основания и найди показатель.

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.