ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Определение и опорные точки
Показатель — переменная, основание фиксировано. Все такие графики проходят через (0;1), а ещё через (1;a) и (−1;1/a). Значения никогда не равны нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для 2ˣ точки (−1;12),(0;1),(1;2),(2;4).
Как отличить показательную функцию от степенной
В y=2ˣ меняется показатель, а основание неизменно. В y=x² меняется основание, а показатель неизменен. Различаются и области, и скорость роста. Для экспоненты отношение значений через одинаковый шаг постоянно: a^(x+t)/aˣ=aᵗ. У линейной функции постоянно приращение, а не отношение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
У 2ˣ при x=0,1,2,3 значения 1,2,4,8: каждый шаг умножает на 2. У x² соответствующие значения 0,1,4,9, такого постоянного множителя нет.
Маршрут рассуждения
- Определение и опорные точки
y=aˣ, где a>0 и a≠1; область x∈ℝ, значения y>0.
- Основание больше единицы
Если a>1, функция aˣ возрастает на ℝ.
- Основание между нулём и единицей
Если 0<a<1, функция aˣ убывает на ℝ.
- Преобразования графика
В y=a^(x−h)+k график сдвигается на h вправо и k вверх.
Главная мысль
y=aˣ, где a>0 и a≠1; область x∈ℝ, значения y>0.
Основание больше единицы
Увеличение аргумента на 1 умножает значение на a. При x→−∞ значения приближаются к нулю сверху; при x→+∞ растут без ограничения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
3^(x+1)=3·3ˣ: каждый единичный шаг утраивает значение.
Модель роста с процентами
При увеличении на p процентов за один период величину умножают на 1+p/100. Через n одинаковых периодов получаем Q=Q₀(1+p/100)ⁿ, если правило не меняется. Проценты каждый раз берутся от нового значения. Такая модель отличается от прибавления одной постоянной суммы и требует указать, что именно считается периодом.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Количество увеличивается на 20% за шаг. Из 100 после двух шагов получается 100·1,2²=144, а не 140. Здесь переменная числа шагов в реальной задаче может быть только целой.
Два вида экспоненты
| Свойство | a>1 | 0<a<1 |
|---|---|---|
| Поведение | Возрастает | Убывает |
| При x=0 | 1 | 1 |
| При x>0 | Больше 1 | Меньше 1 |
| При x<0 | Меньше 1 | Больше 1 |
| Область значений | (0;+∞) | (0;+∞) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если a>1, функция aˣ возрастает на ℝ.
Основание между нулём и единицей
Умножение положительного значения на дробь меньше 1 уменьшает его. График (1/a)ˣ получается из aˣ отражением относительно оси y.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(12)ˣ=2⁻ˣ. При x=0,1,2 значения 1,12,14.
Убывание сохраняет положительность
Умножение на положительную дробь, меньшую единицы, уменьшает величину, но за конечное число шагов не делает её нулевой. При x→+∞ значения стремятся к нулю, а не становятся им. При движении аргумента в отрицательную сторону картина обратная: функция растёт. Отрицательный аргумент и отрицательное значение функции — разные понятия.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Если за каждый шаг остаётся 80%, то от 125 после двух шагов остаётся 125·0,8²=80. Основание 0,8 допустимо, все результаты положительны.
Подумай и объясни
При 0<a<1 из u<v следует…
Сверить рассуждение
aᵘ>aᵛ. Если 0<a<1, функция aˣ убывает на ℝ.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если 0<a<1, функция aˣ убывает на ℝ.
Преобразования графика
Горизонтальная асимптота становится y=k, а область значений — y>k. Отрицательный множитель перед степенью отражает график и меняет направление значений.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
y=2^(x−1)+3 проходит через (1;4) и всегда больше 3.
Преобразования выполняем по смыслу аргумента
В a^(x−h)+k сначала ищем, при каком x показатель равен нулю: это x=h и опорная точка (h;1+k). При множителе A перед степенью область значений зависит от знака A: при A>0 это y>k, при A<0 — y<k. Сдвиг не позволяет графику достигнуть своей горизонтальной асимптоты.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
y=−2^(x−1)+3 проходит через (1;2), всегда меньше 3 и убывает. Минус стоит перед всей степенью: это не отрицательное основание.
Разберём ошибку
Неверно Какая асимптота у 2ˣ+3? — x=3
В y=a^(x−h)+k график сдвигается на h вправо и k вверх.
Как рассуждать: Верный ответ: y=3.
Главная мысль
В y=a^(x−h)+k график сдвигается на h вправо и k вверх.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
y=aˣ, где a>0 и a≠1; область x∈ℝ, значения y>0.
Если a>1, функция aˣ возрастает на ℝ.
Если 0<a<1, функция aˣ убывает на ℝ.
В y=a^(x−h)+k график сдвигается на h вправо и k вверх.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.