ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Одинаковая основа
Показательная функция строго монотонна, поэтому одно значение не может соответствовать двум разным показателям. Правило работает и для дробного основания.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2^(3x−1)=16=2⁴, откуда 3x−1=4 и x=53.
Равносильность и одинаковое основание
Переход aᵘ=aᵛ ⇔ u=v работает для одного и того же основания a>0,a≠1. Основания могут выглядеть разными, но быть степенями одной основы. Отдельно проверь, чтобы выражения u,v были определены. Если правая часть не положительна, экспонента её не достигает и дальнейшие вычисления не нужны.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
8^(x−1)=4^(x+1) → 2^(3x−3)=2^(2x+2) → x=5. Проверка показателей: 3·5−3=2·5+2=12.
Маршрут рассуждения
- Одинаковая основа
При a>0, a≠1 равенство aᵘ=aᵛ равносильно u=v.
- Собери степени
Используй свойства степеней, чтобы выделить общий множитель.
- Замена переменной
Если встречаются a^(2x) и aˣ, положи t=aˣ>0.
- Проверка существования
aˣ всегда положительно; уравнение aˣ=b не имеет действительных корней при b≤0.
Главная мысль
При a>0, a≠1 равенство aᵘ=aᵛ равносильно u=v.
Собери степени
Слагаемые с разными показателями могут отличаться постоянным множителем: a^(x+1)=a·aˣ. Складывать показатели через знак плюс нельзя.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2ˣ+2^(x+1)=12 → 3·2ˣ=12 → 2ˣ=4 → x=2.
Общий множитель не равен объединению слагаемых
Из a^(x+c)=aˣaᶜ следует способ вынести aˣ. Сумма степеней при этом становится произведением степени на число. Делить на aˣ можно: оно всегда положительно. При делении на более сложное выражение, например aˣ−1, сначала разбирают случай его равенства нулю, иначе можно потерять решение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
5^(x+1)−2·5ˣ=75 → (5−2)5ˣ=75 → 5ˣ=25 → x=2. Запись 5^(2x+1) вместо разности была бы ошибкой.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Используй свойства степеней, чтобы выделить общий множитель.
Замена переменной
После решения квадратного уравнения оставь только положительные t и сделай обратную замену. Условие t>0 — часть решения, а не формальность.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
4ˣ−3·2ˣ+2=0 → t²−3t+2=0. t=1 или 2, поэтому x=0 или 1.
Полный разбор замены
Обозначение t=aˣ не завершает решение: у вспомогательного уравнения могут быть отрицательные корни, которые не соответствуют никакому x. После отбора положительных t восстанови x через равенство степени или логарифм. Если положительных корней два, получаются две серии обратных вычислений, которые нужно довести до конца.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
4ˣ+2ˣ−6=0 → t²+t−6=0 → (t−2)(t+3)=0. Корень −3 исключаем; t=2 даёт x=1. Подстановка: 4+2−6=0.
Подумай и объясни
Что делать с корнем t=−2 при t=2ˣ?
Сверить рассуждение
Исключить. Если встречаются a^(2x) и aˣ, положи t=aˣ>0.
Замена в показательном уравнении
1
4ˣ−5·2ˣ+4=0
2
t=2ˣ>0 → t²−5t+4=0
3
t=1 или t=4 — оба положительны
4
2ˣ=1 или 2ˣ=4 → x=0 или x=2
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если встречаются a^(2x) и aˣ, положи t=aˣ>0.
Проверка существования
При b>0 есть ровно один корень logₐb. Если применялись деление на выражение или замена, отдельно проверь их условия.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
3ˣ=−9 не имеет корней; 3ˣ=9 даёт x=2.
Когда общей основы не видно
Для aˣ=b при b>0 точный ответ x=logₐb. Десятичное приближение уместно только если оно требуется. Иногда единственность помогает доказать монотонность: если левая часть строго возрастает, а правая постоянна, больше одного корня быть не может. Найденное целое значение тогда не просто удачная догадка, а полный ответ после обоснования.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
2ˣ=7 даёт x=log₂7, причём 2<x<3. Для 2ˣ+3ˣ=5 значение x=1 подходит; сумма двух возрастающих функций возрастает, других корней нет.
Разберём ошибку
Неверно Сколько корней у 2ˣ=0? — Один
aˣ всегда положительно; уравнение aˣ=b не имеет действительных корней при b≤0.
Как рассуждать: Верный ответ: Ни одного.
Главная мысль
aˣ всегда положительно; уравнение aˣ=b не имеет действительных корней при b≤0.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При a>0, a≠1 равенство aᵘ=aᵛ равносильно u=v.
Используй свойства степеней, чтобы выделить общий множитель.
Если встречаются a^(2x) и aˣ, положи t=aˣ>0.
aˣ всегда положительно; уравнение aˣ=b не имеет действительных корней при b≤0.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.