ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Приведение к одной основе
Если a>1, из aᵘ>aᵛ следует u>v. Для 0<a<1 направление между показателями меняется на противоположное.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2^(x−1)>8 → x−1>3 → x>4.
Сначала свойства, затем вычисления
Проверь знак основания и правой части. Поскольку aˣ>0, сравнения с нулём и отрицательными числами решаются сразу. При положительной правой части представь её как степень основания, если это удобно. При различающихся основаниях можно использовать общую основу или логарифм, но направление сравнения должно быть обосновано.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
3^(2x−1)≤27 → 3^(2x−1)≤3³ → 2x−1≤3 → x≤2. Граница включается, потому что исходный знак нестрогий.
Маршрут рассуждения
- Приведение к одной основе
Сначала запиши обе части степенями одного допустимого основания.
- Убывающая экспонента
При 0<a<1: aᵘ>aᵛ ⇔ u<v.
- Замена с ограничением
При t=aˣ обязательно пересекай решение неравенства с t>0.
- Границы и проверка
Строгое неравенство исключает границу равенства; нестрогое включает, если она допустима.
Главная мысль
Сначала запиши обе части степенями одного допустимого основания.
Убывающая экспонента
Проверь себя числами: (12)¹>(12)³. Большему значению соответствует меньший показатель. При дальнейшем делении на отрицательное число знак может измениться ещё раз.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(13)^(2x)>19=(13)² → 2x<2 → x<1.
Два изменения знака за одно решение
Дробное основание меняет направление неравенства при переходе к показателям. Затем деление на отрицательный коэффициент может поменять его ещё раз. Это разные причины, их нужно записать отдельными шагами. Не пытайся угадать конечный знак по виду исходной записи.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
(12)^(1−2x)<18=(12)³ → 1−2x>3 → −2x>2 → x<−1. Проверка x=−2: 132<18.
Куда направлен знак?
| Основание | Исходное сравнение | После перехода |
|---|---|---|
| a>1 | aᵘ>aᵛ | u>v |
| 0<a<1 | aᵘ>aᵛ | u<v |
| a>1 | aᵘ≤aᵛ | u≤v |
| 0<a<1 | aᵘ≤aᵛ | u≥v |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При 0<a<1: aᵘ>aᵛ ⇔ u<v.
Замена с ограничением
После метода интервалов переведи каждый допустимый промежуток обратно к x. Неположительные значения t никогда не возникают.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
4ˣ−3·2ˣ+2<0 → 1<t<2 → 0<x<1.
Метод интервалов после замены
Для квадратного неравенства по t отметь корни и знаки трёх промежутков. Учитывай строгий или нестрогий знак, затем пересечение с t>0. Лишь после этого возвращайся к x. Если исходное основание меньше 1, при обратном переходе порядок границ меняется.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
4ˣ−5·2ˣ+4≥0 → (t−1)(t−4)≥0. С учётом t>0: 0<t≤1 или t≥4. Поэтому x≤0 или x≥2.
Подумай и объясни
Какое ограничение у t=2ˣ?
Сверить рассуждение
t>0. При t=aˣ обязательно пересекай решение неравенства с t>0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При t=aˣ обязательно пересекай решение неравенства с t>0.
Границы и проверка
Удобно проверить по одному значению из найденного промежутка и вне его. При отрицательной правой части используй положительность степени до любых преобразований.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2ˣ>−1 верно при всех x, а 2ˣ≤0 не имеет решений.
Проверка лучей и концов
У решения неравенства может быть несколько промежутков. Проверь точку внутри каждого, один исключённый промежуток и точки равенства. Бесконечность никогда не включается квадратной скобкой: это не число. При записи ответа в переменной x не оставляй ограничения только для вспомогательной t.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Для x≤0 или x≥2 точки 0 и 2 дают равенство, x=1 даёт 4−10+4=−2 и исключается. Это подтверждает направление промежутков.
Разберём ошибку
Неверно Решение 2ˣ>−1 — это… — Только x>−1
Строгое неравенство исключает границу равенства; нестрогое включает, если она допустима.
Как рассуждать: Верный ответ: Все действительные числа.
Главная мысль
Строгое неравенство исключает границу равенства; нестрогое включает, если она допустима.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Сначала запиши обе части степенями одного допустимого основания.
При 0<a<1: aᵘ>aᵛ ⇔ u<v.
При t=aˣ обязательно пересекай решение неравенства с t>0.
Строгое неравенство исключает границу равенства; нестрогое включает, если она допустима.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.