§ 7. Свойства логарифмов

Если x=aᵘ и y=aᵛ, то xy=a^(u+v), поэтому логарифм произведения равен u+v. Основание одно и то же, положительно и не равно 1.

От степеней к логарифмам

Пусть logₐx=u, logₐy=v. Тогда x=aᵘ,y=aᵛ и xy=a^(u+v). Определение логарифма сразу даёт logₐ(xy)=u+v. Для частного показатели вычитаются. Это объяснение показывает, почему правило требует одинакового основания и положительных отдельных аргументов. Оно также показывает, почему у суммы x+y аналогичной формулы нет.

Условие x>0 важно при раскрытии. Для квадрата отрицательного числа логарифм определён, но логарифм самого числа — нет: logₐ(x²)=2logₐ|x| при x≠0.

Модуль сохраняет область

Если перед раскрытием внутри логарифма стоит квадрат x², исходная область x≠0. Замена на 2logₐx потеряет отрицательные x. Равносильная запись на всей исходной области — 2logₐ|x|. Для общих действительных степеней привычное вынесение показателя формулируют при положительном основании под степенью.

Общее основание можно выбрать удобным. В знаменателе стоит логарифм старого основания. В частности logₐb=1/log_b a при b≠1.

Степень в основании и переход

Формула перехода даёт log с основанием aᵐ от b = (logₐb)/m при a>0,a≠1,b>0,m≠0. Показатель основания делит результат, показатель аргумента умножает. При переходе к общему основанию основание исходного логарифма идёт в знаменатель, а аргумент — в числитель.

logₐ(xy) существует при xy>0, в том числе когда оба множителя отрицательны. Раздельная запись logₐx+logₐy требует положительности каждого.

Собирать и раскрывать — не всегда обратимые шаги

Уравнение с двумя отдельными логарифмами сохраняет требования положительности каждого аргумента, даже если они затем объединены в произведение. Положительное произведение может получиться и из двух отрицательных множителей, поэтому объединённая запись сама по себе шире исходной. Запиши исходную ОДЗ на полях и вернись к ней после вычислений.