ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Область и опорные точки
Точки (1;0), (a;1), (1/a;−1) следуют из определения. Ось y — вертикальная асимптота; график не содержит точки при x=0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У log₂x точки (1;0),(2;1),(12;−1).
Почему графики отражаются относительно y=x
Равенства y=logₐx и x=aʸ описывают одну зависимость с обменом ролями координат. У показательной функции каждой точке (u;aᵘ) соответствует точка (aᵘ;u) логарифма. Поэтому область и множество значений меняются местами. Прямая y=x служит осью такого отражения, а не осью симметрии каждого графика по отдельности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Точка (3;8) графика 2ˣ превращается в (8;3) графика log₂x. Точка (−2;14) превращается в (14;−2).
Маршрут рассуждения
- Область и опорные точки
Для a>0, a≠1 область x>0, значения y∈ℝ.
- Монотонность
При a>1 логарифм возрастает, при 0<a<1 убывает.
- Знак логарифма
При a>1 логарифм положителен для x>1 и отрицателен для 0<x<1.
- Сдвиги графика
У y=logₐ(x−h)+k область x>h, асимптота x=h.
Главная мысль
Для a>0, a≠1 область x>0, значения y∈ℝ.
Монотонность
Это позволяет сравнивать аргументы при одинаковом основании. При дробном основании направление сравнения меняется.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₁/₂4=−2, log₁/₂8=−3: большему аргументу соответствует меньший логарифм.
Сравнение только при одинаковом основании
Свойство монотонности позволяет сравнить logₐu и logₐv по u и v, если оба положительны и основание совпадает. При разных основаниях сначала нужно привести логарифмы к общей форме. Даже знак аргумента не определяет знак логарифма: аргумент всегда положителен, а значение зависит от его положения относительно 1 и от основания.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
log₂3<log₂5, потому что 2>1 и 3<5. Но log₁/₂3>log₁/₂5: основание меньше 1, функция убывает.
Экспонента и логарифм: обмен координатами
| aˣ | logₐx |
|---|---|
| (0;1) | (1;0) |
| (1;a) | (a;1) |
| (−1;1/a) | (1/a;−1) |
| Горизонтальная асимптота y=0 | Вертикальная асимптота x=0 |
| Область ℝ, значения >0 | Область >0, значения ℝ |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При a>1 логарифм возрастает, при 0<a<1 убывает.
Знак логарифма
Для основания между 0 и 1 знаки противоположны. Точка смены знака функции одна и та же: x=1, где значение равно нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
log₂(18)=−3, а log₁/₂(18)=3.
Асимптота и поведение около нуля
При a>1 и x→0 справа логарифм уходит к отрицательным значениям без границы; при 0<a<1 — к положительным. При этом x=0 не входит в область. График пересекает ось x в (1;0), но не пересекает ось y. Если функция сдвинута, нуль значения и граница области обычно перестают совпадать с прежними числами.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Для log₂x значения при x=12,14,18 равны −1,−2,−3. Для log₁/₂x при тех же аргументах получаем 1,2,3.
Подумай и объясни
При a>1 и 0<x<1 логарифм…
Сверить рассуждение
Отрицателен. При a>1 логарифм положителен для x>1 и отрицателен для 0<x<1.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При a>1 логарифм положителен для x>1 и отрицателен для 0<x<1.
Сдвиги графика
Сначала обеспечь положительность всего аргумента. Точка (1;0) исходного графика переносится в (h+1;k).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
y=log₂(x−3)+2 проходит через (4;2), область x>3.
Алгоритм построения сдвинутого графика
Сначала реши неравенство для аргумента. Затем перенеси опорные точки и асимптоту. У y=logₐ(x−h)+k вертикальная асимптота x=h, опорная точка (h+1;k), нуль x=h+a^(−k). Нуль ищут по определению логарифма, а не из условия нулевого аргумента.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
У y=log₂(x−3)+2 область x>3, точка (4;2), нуль при x−3=14, то есть x=134. Аргумент в нуле функции положителен.
Разберём ошибку
Неверно Где определена log₂(x−3)? — При x≥3
У y=logₐ(x−h)+k область x>h, асимптота x=h.
Как рассуждать: Верный ответ: При x>3.
Главная мысль
У y=logₐ(x−h)+k область x>h, асимптота x=h.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для a>0, a≠1 область x>0, значения y∈ℝ.
При a>1 логарифм возрастает, при 0<a<1 убывает.
При a>1 логарифм положителен для x>1 и отрицателен для 0<x<1.
У y=logₐ(x−h)+k область x>h, асимптота x=h.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.