ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Как возникает цилиндр
Сторона на оси задаёт высоту h, перпендикулярная ей сторона — радиус r. Противоположная оси сторона описывает боковую поверхность и называется образующей; её длина равна высоте. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h, а не r и h. Основания — круги, их границы — окружности.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если осевое сечение — квадрат со стороной 8, то h=8, диаметр 2r=8, следовательно r=4.
Маршрут рассуждения
- Как возникает цилиндр
Прямой круговой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной его стороны.
- Развёртка и площадь поверхности
Sбок=2πrh; Sполн=2πrh+2πr².
- Объём, сечения и касательная плоскость
V=πr²h. Параллельное оси сечение на расстоянии d<r от оси имеет ширину 2√(r²−d²).
- Комбинации и масштаб
При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь растёт в k² раз, объём — в k³ раз.
Главная мысль
Прямой круговой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной его стороны.
Развёртка и площадь поверхности
Разрежем боковую поверхность вдоль образующей и распрямим. Получим прямоугольник высоты h и ширины 2πr: его край должен охватить окружность основания ровно один раз. Полная поверхность включает ещё два круга. Для открытого сверху сосуда добавляют только одно дно — это уже прикладная поверхность, а не полная поверхность цилиндра.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При r=3,h=5 боковая площадь 30π, полная 48π. Для цилиндрической банки без крышки площадь материала без припусков была бы 39π.
Тело, сечение и развёртка
| Объект | Форма | Размеры |
|---|---|---|
| Основание | Круг | r |
| Осевое сечение | Прямоугольник | 2r и h |
| Боковая развёртка | Прямоугольник | 2πr и h |
| Сечение параллельно основанию | Круг | Тот же r |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Sбок=2πrh; Sполн=2πrh+2πr².
Объём, сечения и касательная плоскость
В основании проведи хорду сечения. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому половина хорды, расстояние d и радиус образуют прямоугольный треугольник. Высота прямоугольного сечения остаётся h. При d=r плоскость касается цилиндра по образующей: радиус к точке касания в основании перпендикулярен этой плоскости.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для r=5,d=3,h=7 ширина сечения 2√(25−9)=8, его площадь 56. Объём цилиндра при этом равен 175π.
Подумай и объясни
При d=r плоскость, параллельная оси, имеет с цилиндром…
Сверить рассуждение
Общую образующую. V=πr²h. Параллельное оси сечение на расстоянии d<r от оси имеет ширину 2√(r²−d²).
Почему касательная плоскость касается по образующей
1
В основании проведи радиус к точке касания
2
Через его конец проведи образующую, параллельную оси
3
Плоскость через образующую перпендикулярна выбранному радиусу
4
На каждом уровне она касается соответствующей окружности в одной точке
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
V=πr²h. Параллельное оси сечение на расстоянии d<r от оси имеет ширину 2√(r²−d²).
Комбинации и масштаб
У вписанной прямой призмы вершины оснований лежат на окружностях цилиндра. Для описанной призмы стороны оснований касаются окружностей. Высоты тел совпадают, а радиус определяется окружностью около основания либо внутри него. Не подменяй радиус диаметром: в объёме это даёт ошибку в четыре раза при прежней высоте.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Цилиндр описан около квадратной призмы со стороной основания 6. Диагональ квадрата 6√2 — диаметр, поэтому r=3√2. При h=4 объём цилиндра 72π.
Вписанная фигура: сначала рисунок основания
Слова «цилиндр описан около призмы» означают, что призма находится внутри цилиндра. Посмотри сверху: окружность должна проходить через вершины многоугольника. Если цилиндр вписан в призму, окружность касается сторон. Поэтому для одного и того же квадрата получаются разные радиусы. Высоту в обоих случаях берут общую.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
Для прямой квадратной призмы со стороной основания 4 и высотой 6: вписанный цилиндр имеет r=2 и V=24π; описанный — r=2√2 и V=48π. Разница объёмов появляется из-за квадрата радиуса.
Разберём ошибку
Неверно Если увеличить только радиус вдвое, объём цилиндра… — Увеличится в 2 раза
При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь растёт в k² раз, объём — в k³ раз.
Как рассуждать: Верный ответ: Увеличится в 4 раза.
Главная мысль
При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь растёт в k² раз, объём — в k³ раз.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Прямой круговой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной его стороны.
Sбок=2πrh; Sполн=2πrh+2πr².
V=πr²h. Параллельное оси сечение на расстоянии d<r от оси имеет ширину 2√(r²−d²).
При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь растёт в k² раз, объём — в k³ раз.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.