§ 3. Пирамида

Правильная пирамида имеет правильное основание, а проекция вершины совпадает с его центром. Боковые грани равны. Обозначим r радиус вписанной в основание окружности, R — описанной. Тогда апофема l удовлетворяет l²=h²+r², а боковое ребро e — равенству e²=h²+R². Это разные треугольники и обычно разные длины.

Боковая поверхность — сумма площадей треугольников. В правильной пирамиде их высоты одинаковы, поэтому выносятся за скобки. У произвольной пирамиды боковые грани считают отдельно. В объёме множитель 13 относится ко всей пирамиде, а не только к правильной. Полная поверхность добавляет ровно одно основание.

Масштаб измеряют от вершины. Если плоскость расположена на высоте z над основанием, расстояние от вершины равно h−z, поэтому k=(h−z)/h. Боковые рёбра, апофемы и высота делятся в одном отношении. Формулы нельзя переносить на произвольное наклонное сечение.

Здесь h — высота именно усечённой части, а l — апофема её трапециевидной боковой грани. Формулу объёма получают как разность объёмов двух подобных пирамид. Корень √(S₁S₂) имеет единицы площади и выражает связь подобных оснований. Среднее арифметическое площадей оснований, умноженное на высоту, в общем случае даёт неверный объём.

Откуда берётся среднее геометрическое площадей

Пусть площади большого и малого оснований равны S и k²S, где 0<k<1. Полная высота достроенной пирамиды H, высота верхушки kH, а высота усечённой части h=H(1−k). Разность объёмов равна SH(1−k³)/3. Разложим 1−k³=(1−k)(1+k+k²) и заменим H(1−k) на h. Получаем h(S+kS+k²S)/3. Средний член kS равен √(S·k²S).