ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Осевое сечение
Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l. Высота делит его на два прямоугольных треугольника. При вращении прямоугольного треугольника один катет становится осью, другой — радиусом, гипотенуза — образующей. Перестановка катетов меняет конус.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
r=3,h=4 дают l=5. Если вращать тот же треугольник вокруг другого катета, получится r=4,h=3 и прежняя образующая 5.
Маршрут рассуждения
- Осевое сечение
У прямого кругового конуса образующая l, радиус r и высота h связаны равенством l²=r²+h².
- Развёртка и поверхность
Sбок=πrl; Sполн=πrl+πr². Угол сектора развёртки φ=360°·r/l.
- Объём и параллельное сечение
V=πr²h/3. Сечение на расстоянии kh от вершины имеет радиус kr.
- Усечённый конус
Для радиусов R>r: l²=h²+(R−r)², Sбок=π(R+r)l, V=πh(R²+Rr+r²)/3.
Главная мысль
У прямого кругового конуса образующая l, радиус r и высота h связаны равенством l²=r²+h².
Развёртка и поверхность
Радиус сектора равен образующей l, а длина его дуги — окружности основания 2πr. Сектор занимает долю r/l полного круга радиуса l, поэтому его площадь равна (r/l)πl²=πrl. Высота h внутри поверхности не лежит: использовать πrh вместо πrl нельзя.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для r=3,l=5 угол развёртки 216°, Sбок=15π, Sполн=24π. Сектор радиуса 3 вместо 5 описывал бы другую поверхность.
Проверка развёртки без запоминания угла
Проверь две длины: расстояние от вершины сектора до края должно равняться образующей конуса; дуга должна замыкаться в окружность его основания. Из равенства (φ/360°)·2πl=2πr сразу следует φ=360°r/l. Для невырожденного конуса l>r, поэтому 0°<φ<360°. Сектор в полный круг соответствовал бы нулевой высоте.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
Для r=4,h=3 получаем l=5 и угол 288°. У широкого невысокого конуса развёртка занимает большую часть круга; при той же образующей и меньшем радиусе основания угол был бы меньше.
Конус и усечённый конус
| Величина | Конус | Усечённый конус |
|---|---|---|
| Образующая | √(r²+h²) | √((R−r)²+h²) |
| Боковая площадь | πrl | π(R+r)l |
| Объём | πr²h/3 | πh(R²+Rr+r²)/3 |
| Основания в полной площади | Одно | Два |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Sбок=πrl; Sполн=πrl+πr². Угол сектора развёртки φ=360°·r/l.
Объём и параллельное сечение
В осевом сечении получаются подобные треугольники. Поэтому площади кругов относятся как k², а объёмы подобных конусов — как k³. Плоскость через вершину, пересекающая внутренность конуса, даёт треугольник; если проходит ещё и через ось, сечение осевое. Касательная плоскость проходит через образующую и перпендикулярна осевой плоскости через эту образующую.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При r=6,h=9 и расстоянии сечения от вершины 3 имеем k=13, радиус сечения 2, площадь 4π. Верхний конус имеет объём 4π, исходный — 108π.
Подумай и объясни
При k=13 доля объёма малого конуса равна…
Сверить рассуждение
127. V=πr²h/3. Сечение на расстоянии kh от вершины имеет радиус kr.
Развёртка конуса из длины дуги
1
Вырезаем сектор радиуса l
2
Его дуга должна равняться 2πr
3
Доля полного круга (2πr)/(2πl)=r/l
4
Площадь сектора (r/l)·πl²=πrl
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
V=πr²h/3. Сечение на расстоянии kh от вершины имеет радиус kr.
Усечённый конус
Осевое сечение — равнобедренная трапеция. Горизонтальный катет бокового прямоугольного треугольника равен разности радиусов, а не разности диаметров. Полная поверхность включает оба круга: πR² и πr². Объём можно проверить вычитанием двух конусов, достроенных к общей вершине.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
R=5,r=2,h=4: l=5, Sбок=35π, Sполн=64π, V=52π.
Разберём ошибку
Неверно Для образующей усечённого конуса нужен катет… — R+r
Для радиусов R>r: l²=h²+(R−r)², Sбок=π(R+r)l, V=πh(R²+Rr+r²)/3.
Как рассуждать: Верный ответ: R−r.
Главная мысль
Для радиусов R>r: l²=h²+(R−r)², Sбок=π(R+r)l, V=πh(R²+Rr+r²)/3.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
У прямого кругового конуса образующая l, радиус r и высота h связаны равенством l²=r²+h².
Sбок=πrl; Sполн=πrl+πr². Угол сектора развёртки φ=360°·r/l.
V=πr²h/3. Сечение на расстоянии kh от вершины имеет радиус kr.
Для радиусов R>r: l²=h²+(R−r)², Sбок=π(R+r)l, V=πh(R²+Rr+r²)/3.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.