ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Сфера и взаимное положение с плоскостью
Внутренние точки не принадлежат сфере. Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг диаметра. При секущей плоскости опусти из центра перпендикуляр OH: его основание H будет центром окружности сечения. Любая точка M этой окружности образует прямоугольный треугольник OHM с гипотенузой R.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
R=5,d=3: радиус сечения ρ=4. Если d=5, окружность вырождается в единственную точку; формула площади круга даёт ноль.
Маршрут рассуждения
- Сфера и взаимное положение с плоскостью
Для сферы радиуса R и расстояния d от центра до плоскости: d<R — окружность, d=R — касание, d>R — общих точек нет.
- Окружности сечений и две сферы
Радиус сечения ρ=√(R²−d²). Наибольшее сечение проходит через центр.
- Касательная плоскость
Плоскость касается сферы в M тогда и только тогда, когда проходит через M и перпендикулярна радиусу OM.
- Площадь сферы и сферического пояса
Sсферы=4πR². Площадь сферического пояса высоты h равна 2πRh.
Главная мысль
Для сферы радиуса R и расстояния d от центра до плоскости: d<R — окружность, d=R — касание, d>R — общих точек нет.
Окружности сечений и две сферы
Если d=0, получаем большой круг с радиусом R; строго говоря, пересечение поверхности сферы — его окружность. Две различные сферы при обычном пересечении имеют общую окружность, плоскость которой перпендикулярна линии центров. При расстоянии L между центрами внешнее касание задаётся L=R₁+R₂, внутреннее — L=|R₁−R₂|, кроме совпадающих сфер.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для R=13,d=5 получаем ρ=12. Площадь круга сечения равна 144π, а длина окружности сечения — 24π: это разные величины.
Полная схема для двух сфер
Пусть R₁≥R₂>0 и L — расстояние между центрами. При L>R₁+R₂ сферы раздельны снаружи; при L=R₁+R₂ касаются внешним образом. Если R₁−R₂<L<R₁+R₂, пересечение — окружность. При L=R₁−R₂>0 касание внутреннее; при L<R₁−R₂ меньшая сфера целиком внутри большей и общих точек нет. Особый случай L=0,R₁=R₂: сферы совпадают.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
У сфер радиусов 5 и 2 при L=8 общих точек нет; при L=7 одна; при L=5 окружность; при L=3 одна; при L=1 снова нет. Одинаковый ответ «нет пересечения» может описывать разные расположения.
Положение плоскости относительно сферы
| Расстояние до центра | Пересечение поверхности | Радиус сечения |
|---|---|---|
| d=0 | Большая окружность | R |
| 0<d<R | Окружность | √(R²−d²) |
| d=R | Одна точка | 0 |
| d>R | Нет общих точек | Не существует |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Радиус сечения ρ=√(R²−d²). Наибольшее сечение проходит через центр.
Касательная плоскость
Касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку. Для любой другой точки P этой плоскости треугольник OMP прямоугольный и OP²=R²+MP²>R², поэтому P лежит вне сферы. Из внешней точки касательные отрезки к сфере равны: их длина √(OP²−R²), что следует из того же прямоугольного треугольника.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
От центра до внешней точки 13, радиус 5. Касательный отрезок имеет длину √(169−25)=12.
Подумай и объясни
Радиус к точке касания плоскости…
Сверить рассуждение
Перпендикулярен плоскости. Плоскость касается сферы в M тогда и только тогда, когда проходит через M и перпендикулярна радиусу OM.
Вывод радиуса сечения
1
O — центр сферы, H — проекция O на плоскость
2
M — любая общая точка сферы и плоскости
3
OH⊥HM, поэтому OM²=OH²+HM²
4
R²=d²+ρ² → ρ=√(R²−d²) при d<R
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Плоскость касается сферы в M тогда и только тогда, когда проходит через M и перпендикулярна радиусу OM.
Площадь сферы и сферического пояса
Высота пояса — расстояние между двумя параллельными секущими плоскостями. Для сферической шапки та же формула считает только криволинейную поверхность, без плоского кругового основания. Если h=2R, пояс охватывает всю сферу: 2πR·2R=4πR². При удвоении радиуса площадь увеличивается в четыре раза.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
R=5: Sсферы=100π. Пояс высоты 2 имеет площадь 20π независимо от того, где расположены его плоскости, если они пересекают сферу.
Разберём ошибку
Неверно Площадь шапки 2πRh включает её плоское основание? — Да
Sсферы=4πR². Площадь сферического пояса высоты h равна 2πRh.
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Sсферы=4πR². Площадь сферического пояса высоты h равна 2πRh.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для сферы радиуса R и расстояния d от центра до плоскости: d<R — окружность, d=R — касание, d>R — общих точек нет.
Радиус сечения ρ=√(R²−d²). Наибольшее сечение проходит через центр.
Плоскость касается сферы в M тогда и только тогда, когда проходит через M и перпендикулярна радиусу OM.
Sсферы=4πR². Площадь сферического пояса высоты h равна 2πRh.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.