ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Объём шара и масштаб
Площадь его границы равна 4πR². Множитель R/3 превращает эту площадь в объём: V=Sсферы·R/3. Это можно понимать как предельное сложение маленьких пирамид с вершиной в центре и основаниями на поверхности. При масштабировании длины меняются в k раз, площади — в k², объёмы — в k³.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При R=3 площадь 36π, объём 36π: численные коэффициенты случайно совпали, но единицы разные. При R=6 площадь 144π, объём 288π.
Маршрут рассуждения
- Объём шара и масштаб
Шар состоит из точек с расстоянием до центра не больше R; V=4πR³/3.
- Сегмент, слой и сектор
Сегмент высоты h: V=πh²(R−h/3). Шаровой сектор с той же сферической шапкой: V=2πR²h/3.
- Вписанный и описанный шар
Для многогранника: у вписанного шара грани касаются сферы; у описанного шара вершины лежат на сфере.
- Шар и многогранник
Если выпуклый многогранник описан около шара радиуса r, то V=Sполн·r/3.
Главная мысль
Шар состоит из точек с расстоянием до центра не больше R; V=4πR³/3.
Сегмент, слой и сектор
Сегмент отсекается плоскостью и имеет плоское основание. Сектор соединяет соответствующую сферическую поверхность с центром шара: это другое тело. В обоих случаях 0≤h≤2R. Радиус основания сегмента удовлетворяет ρ²=2Rh−h². Объём слоя между параллельными плоскостями находят разностью объёмов двух сегментов, отсчитанных от одного полюса.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
R=3,h=1: объём сегмента 8π/3, сектора 6π. При h=R обе формулы дают полушар 2πR³/3.
Не перепутай поверхность и часть тела
| Объект | Формула | Что означает h |
|---|---|---|
| Сфера | S=4πR² | Высота не нужна |
| Шар | V=4πR³/3 | Высота не нужна |
| Сферическая шапка | S=2πRh | Расстояние от полюса до плоскости |
| Шаровой сегмент | V=πh²(R−h/3) | Та же высота шапки |
| Шаровой сектор | V=2πR²h/3 | Высота соответствующей шапки |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Сегмент высоты h: V=πh²(R−h/3). Шаровой сектор с той же сферической шапкой: V=2πR²h/3.
Вписанный и описанный шар
Центр описанного шара равноудалён от вершин, центр вписанного — от плоскостей граней. Это разные условия. У куба со стороной a вписанный радиус r=a/2, описанный R=a√3/2, потому что диаметр описанной сферы равен пространственной диагонали. Для прямого цилиндра описанный шар имеет R²=rц²+(h/2)².
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Куб со стороной 6: r=3, R=3√3. Для цилиндра радиуса 3 и высоты 8 описанный шар имеет радиус 5.
Шар в цилиндре и конусе: переходим к осевому сечению
Шар вписан в прямой цилиндр только при h=2rц: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом с вписанной окружностью. Радиус шара тогда rц, а его объём составляет 23 объёма цилиндра. Для прямого конуса осевое сечение — равнобедренный треугольник. Вписанный радиус шара равен радиусу его вписанной окружности: rш=Sтреуг/p=rцh/(l+rц).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
У конуса rц=3,h=4,l=5 площадь осевого треугольника 12, полупериметр 8. Значит rш=128=32. Проверка по высоте: диаметр шара 3 меньше высоты конуса 4.
Шар вокруг конуса и внутри усечённого конуса
У описанного около прямого конуса шара центр лежит на оси. В осевом треугольнике стороны l,l,2rц и площадь rцh; радиус описанной окружности Rш=abc/(4S)=l²/(2h)=(rц²+h²)/(2h). Центр может оказаться вне самого конуса. Для вписанного шара в прямом усечённом конусе осевая трапеция должна иметь вписанную окружность: l=R+r. Вместе с l²=h²+(R−r)² это даёт h²=4Rr; радиус шара h/2.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
У конуса rц=3,h=4 описанный радиус равен 258. У усечённого конуса R=4,r=1 шар можно вписать при h=4: l=5=R+r, радиус шара 2. При другой высоте шар не коснётся сразу обоих оснований и всей боковой поверхности.
Подумай и объясни
Центр вписанного шара равноудалён…
Сверить рассуждение
От плоскостей граней. Для многогранника: у вписанного шара грани касаются сферы; у описанного шара вершины лежат на сфере.
Шар внутри куба и вокруг куба
1
Вписанный шар: расстояние между противоположными гранями равно диаметру → r=a/2
2
Описанный шар: пространственная диагональ куба равна диаметру → R=a√3/2
3
Радиусы относятся как √3
4
Объёмы относятся как (√3)³=3√3
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для многогранника: у вписанного шара грани касаются сферы; у описанного шара вершины лежат на сфере.
Шар и многогранник
Соедини центр шара со всеми вершинами. Тело разбивается на пирамиды с общей высотой r, поскольку расстояния от центра до граней одинаковы. Сумма площадей их оснований — полная поверхность многогранника. В любой невырожденный тетраэдр можно вписать единственный шар и около него описать единственный шар. Для произвольной призмы или пирамиды существование шара требует проверки.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У описанного около шара многогранника V=60,Sполн=90. Тогда r=3V/Sполн=2. Если взять радиус описанного шара вместо вписанного, формула перестанет работать.
Разберём ошибку
Неверно В равенстве V=Sполн·r/3 используется радиус… — Описанного шара
Если выпуклый многогранник описан около шара радиуса r, то V=Sполн·r/3.
Как рассуждать: Верный ответ: Вписанного шара.
Главная мысль
Если выпуклый многогранник описан около шара радиуса r, то V=Sполн·r/3.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Шар состоит из точек с расстоянием до центра не больше R; V=4πR³/3.
Сегмент высоты h: V=πh²(R−h/3). Шаровой сектор с той же сферической шапкой: V=2πR²h/3.
Для многогранника: у вписанного шара грани касаются сферы; у описанного шара вершины лежат на сфере.
Если выпуклый многогранник описан около шара радиуса r, то V=Sполн·r/3.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.