§ 7. Правильные многогранники

В каждой вершине сходятся не менее трёх граней. Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранного угла меньше 360°: иначе поверхность не сможет замкнуться вокруг объёма. Нельзя путать плоский угол грани с двугранным углом между плоскостями граней. Равенство всех рёбер само по себе ещё не определяет правильный многогранник.

Почему список из пяти тел замкнут

У правильного p-угольника внутренний угол равен 180°(p−2)/p. Если в вершине сходятся q граней, нужно q≥3 и q·180°(p−2)/p<360°. При p=3 допустимы q=3,4,5; при p=4 и p=5 только q=3. Для p≥6 уже три угла дают не меньше 360°. Эти пять пар реализуются пятью известными правильными телами.

У равностороннего треугольника угол 60°: можно собрать 3,4 или 5 таких углов — получаем тетраэдр, октаэдр, икосаэдр. Из квадратов допустимы три грани — куб. Из правильных пятиугольников с углом 108° допустимы три — додекаэдр. Уже три правильных шестиугольника дают 360°, поэтому шестиугольные грани не подходят.

Каждое ребро принадлежит двум граням и имеет два конца, поэтому при подсчёте по граням или вершинам оно учитывается дважды. Формула Эйлера служит проверкой связности подсчёта, но сама по себе не доказывает правильность. Буквы В,Р,Г обозначают количества, а не геометрические длины.

Площадь поверхности равна числу граней, умноженному на площадь одной грани. Объём можно найти как Sполн·r/3 по радиусу вписанной сферы. У тетраэдра с ребром a площадь a²√3, объём a³√2/12, R=3r. У куба S=6a²,V=a³. Формулы проверяются по размерности: у площади степень длины 2, у объёма 3.