§ 8. Геометрические фигуры и их свойства

Одна прямая в плоскости не даёт достаточного условия. В пространстве прямые могут быть скрещивающимися: они не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Угол между прямыми находят между параллельными им пересекающимися прямыми. Угол прямой с плоскостью — угол с её ортогональной проекцией; для перпендикулярной прямой он равен 90°. Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную и её проекцию.

Параллельность и перпендикулярность: проверь все условия

Прямая a параллельна плоскости α, если параллельна некоторой прямой этой плоскости и сама не лежит в α. Для двух различных плоскостей достаточно найти в каждой пару пересекающихся прямых так, чтобы соответствующие прямые были параллельны. Если плоскость β содержит прямую, перпендикулярную α, то β⊥α. Но произвольная прямая из β при этом не обязана быть перпендикулярна α.

Для равенства используют три стороны, две стороны и угол между ними, сторону и два прилежащих угла. Для подобия — два угла, пропорциональные стороны с равным углом между ними или три пропорциональные стороны. Следи за порядком соответствующих вершин. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам, медиана — пополам. В прямоугольном треугольнике a²+b²=c².

Четыре замечательные точки треугольника

Медианы пересекаются в центре тяжести и делятся им в отношении 2:1 от вершины. Биссектрисы дают центр вписанной окружности: он равноудалён от сторон. Серединные перпендикуляры дают центр описанной окружности: он равноудалён от вершин. Высоты пересекаются в ортоцентре. Только в равностороннем треугольнике все четыре точки совпадают.

Дуга должна быть одной и той же: иначе половинное отношение применять нельзя. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Касательные отрезки из одной внешней точки равны. Для пересекающихся хорд PA·PB=PC·PD; для касательной PT и секущей PAB верно PT²=PA·PB, где PB — вся секущая от внешней точки.

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам. У прямоугольника диагонали равны; у ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Но равные диагонали произвольного четырёхугольника ещё не доказывают, что он прямоугольник: сначала нужен параллелограмм. Вписанный выпуклый четырёхугольник имеет сумму противоположных углов 180°. У описанного около окружности суммы противоположных сторон равны.

Равенство, подобие и преобразования

При движении сохраняются расстояния и углы: перенос, поворот и отражение переводят фигуру в равную. При гомотетии с центром O точка A переходит в A′ по правилу OA′⃗=k·OA⃗, k≠0. Длины умножаются на |k|, площади — на k². При k<0 точка A′ лежит на противоположном луче; отрицательных длин при этом не возникает.