ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Основание и показатель
В записи an число a — основание, n — показатель. При n > 1 степень означает произведение n одинаковых множителей a.
5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Показатель не умножают на основание. a¹ = a.
Повторяется сложение или умножение?
| Запись | Развёрнутый смысл | Значение |
|---|---|---|
| 3 · 4 | 3 + 3 + 3 + 3 | 12 |
| 3⁴ | 3 · 3 · 3 · 3 | 81 |
Показатель считает множители
В степени 3⁴ цифра 4 отвечает на вопрос «Сколько троек перемножили?». Сам показатель не входит в произведение. При показателе 1 остаётся один множитель: 3¹ = 3. Это помогает понять запись, не заучивая отдельные ответы.
Главная мысль
Показатель считает множители, а не прибавления.
Квадрат и куб
a² читают «a в квадрате», a³ — «a в кубе». Площадь квадрата со стороной a равна a²; число единичных кубиков в кубе с ребром a равно a³.
В модели меняй основание и показатель: развернутая запись показывает, откуда берётся результат.
ПОЧЕМУ ТАК
Названия «квадрат» и «куб» связаны с фигурами
В квадрате со стороной 3 см три ряда по три квадрата площадью 1 см²: всего 3 · 3 = 9. В кубе с ребром 3 см три таких слоя единичных кубиков: 3 · 3 · 3 = 27.
Так одно измерение повторяется два или три раза. Но степень — не только геометрическая запись: 2⁵ означает пять множителей 2, даже если мы не рисуем соответствующую фигуру.
ИССЛЕДУЙ САМ
Разверни запись степени
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Квадрат — два одинаковых множителя, куб — три.
Порядок действий
Сначала действия в скобках, затем степени, потом умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо.
5² − 3² + 12 : 4 = 25 − 9 + 3 = 19. Скобки меняют результат: (5 − 3)² = 4, но 5² − 3² = 16.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Скобки показывают, что возводят в степень
В (2 + 3)² основанием служит вся сумма. Сначала находим 5, затем 5 · 5 = 25. В 2 + 3² основание — только 3: получится 2 + 9 = 11.
Запись (2 + 3)² не равна 2² + 3². Если сомневаешься, разверни степень: (2 + 3) · (2 + 3). Так видна вся работа, которую скрывает короткая запись.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Степень выполняют раньше умножения и сложения.
Степени десяти
10² = 100, 10³ = 1000, 10⁴ = 10 000. У натуральной степени десяти после единицы столько нулей, каков показатель.
53 421 = 5 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 2 · 10 + 1. Это та же разрядная запись, только короче.
Почему при умножении на 10 появляется новый разряд
10³ = 10 · 10 · 10 = 1000. Каждый новый множитель 10 увеличивает значение в десять раз. Поэтому у 10⁴ четыре нуля, а у 10⁵ пять.
В записи 4 · 10³ число 4 показывает, сколько тысяч взяли. Разрядное разложение 4070 = 4 · 10³ + 7 · 10 означает четыре тысячи и семь десятков; нулевые разряды не обязаны присутствовать отдельными слагаемыми.
Подумай и объясни
Почему 1⁸ = 1, а не 8?
Сверить рассуждение
Мы перемножаем восемь единиц. Умножение на 1 не меняет произведение. Число 8 получилось бы при сложении восьми единиц.
Главная мысль
Степени десяти удобно обозначают разрядные единицы.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Показатель считает множители, а не прибавления.
Квадрат — два одинаковых множителя, куб — три.
Степень выполняют раньше умножения и сложения.
Степени десяти удобно обозначают разрядные единицы.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.