ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Смысл действий
Произведение 4 · 3 — сумма трёх слагаемых по 4. Деление помогает найти неизвестный множитель: 12 : 3 = 4.
a · 1 = a; a · 0 = 0; a : 1 = a. При a ≠ 0: a : a = 1 и 0 : a = 0. На нуль делить нельзя.
Два смысла деления
| Ситуация | Что ищем | Действие |
|---|---|---|
| 12 яблок поровну в 3 пакета | Сколько яблок в пакете | 12 : 3 = 4 |
| 12 яблок по 3 в пакет | Сколько нужно пакетов | 12 : 3 = 4 |
ПОЧЕМУ ТАК
Почему на нуль делить нельзя
Деление 12 : 3 ищет число, которое при умножении на 3 даст 12. Для 12 : 0 такого числа нет: произведение с нулём всегда нуль. В 0 : 0 подошло бы любое число, поэтому единственного результата тоже нет.
Главная мысль
Деление проверяется умножением; делитель не равен нулю.
Модель равных частей
Меньшее значение изобразим одной частью. Значение в 3 раза больше — тремя такими частями. Вместе четыре части, разность — две.
Измени в модели число частей. Для суммы делим на k + 1; для разности — на k − 1. Затем находим большее умножением на k.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Одна часть — общая мерка
Пусть в одной коробке втрое больше карандашей, чем в другой. Маленькую коробку представим одной частью, большую — тремя. Вместе получаются четыре части, хотя коробок всего две: число частей не равно числу предметов в условии.
Если всего 1080 карандашей, одна часть равна 1080 : 4 = 270, а большая коробка содержит 810. Для разности число частей другое: три части минус одна дают две. Именно схема помогает выбрать делитель.
ИССЛЕДУЙ САМ
Сколько равных частей?
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Сумма соответствует k + 1 частям, разность — k − 1.
Свойства умножения
Множители можно переставлять и группировать: ab = ba, (ab)c = a(bc). Поэтому 4 · 8 · 11 · 25 = 100 · 88 = 8800.
Распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac; аналогично a(b − c) = ab − ac. 61 · 23 = 61 · 20 + 61 · 3 = 1403.
ПОЧЕМУ ТАК
Распределительное свойство делит работу на удобные части
Чтобы найти стоимость 23 одинаковых тетрадей по 61 копейке, можно отдельно посчитать 20 тетрадей и 3 тетради, а потом сложить. Это и есть 61 · (20 + 3) = 61 · 20 + 61 · 3.
Свойство работает и в обратную сторону: 7 · 18 + 7 · 2 = 7 · (18 + 2) = 140. Общий множитель показывает цену или размер одной одинаковой части; в скобках складывается число таких частей.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Умножение суммы можно заменить суммой произведений.
Не путай «на» и «в»
«В 6 раз больше» задаёт отношение, а «на 35 больше» — разность. Вместе они позволяют найти одну часть: 35 : (6 − 1) = 7.
Проверяй найденные значения делением и вычитанием: 42 : 7 = 6; 42 − 7 = 35. В делении порядок чисел менять нельзя.
Разберём ошибку
Неверно Если большее число в 6 раз больше меньшего, разность нужно разделить на 6.
Шесть частей изображают всё большее число. Разность с одной меньшей частью составляет только пять частей. Поэтому при разности 35 одна часть равна 35 : 5 = 7.
Как рассуждать: Нарисуй обе величины и сравни их. Значения 42 и 7 дают и нужную разность 35, и нужное отношение 6.
Подумай и объясни
В одной коробке 4 карандаша. Чем отличаются условия «во второй на 3 больше» и «во второй в 3 раза больше»?
Сверить рассуждение
В первом случае во второй 4 + 3 = 7 карандашей, во втором — 4 · 3 = 12. Число 3 задаёт либо добавку, либо количество равных частей. Это разные связи.
Главная мысль
Модель показывает, сколько одинаковых частей стоит за известным числом.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Деление проверяется умножением; делитель не равен нулю.
Сумма соответствует k + 1 частям, разность — k − 1.
Умножение суммы можно заменить суммой произведений.
Модель показывает, сколько одинаковых частей стоит за известным числом.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.