ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Делитель и кратное
Делитель числа a делит a без остатка. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Кратное a само делится на a: 24, 48, 72, … — положительные кратные 24.
У натурального числа конечное число делителей и бесконечно много кратных.
В какую сторону идёт деление?
| Связь | Проверка | Что можно сказать |
|---|---|---|
| 6 — делитель 24 | 24 : 6 = 4 | 24 делится на 6 |
| 48 — кратное 24 | 48 : 24 = 2 | 48 делится на 24 |
Как перечислять без пропусков
Делители удобно искать парами множителей: 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6. Каждая пара даёт два делителя. Кратные получают иначе: умножают исходное число на 1, 2, 3 и так далее.
Главная мысль
Делитель делит данное число; кратное делится на данное число.
Общие числа в двух списках
Общие делители принадлежат обоим спискам делителей. Самый большой — НОД. Для 12 и 18 общие: 1, 2, 3, 6; НОД = 6.
Общие кратные делятся на оба числа. Наименьшее натуральное общее кратное — НОК. Для 12 и 18 это 36.
ПОЧЕМУ ТАК
Общее — значит подходит обоим числам
Число 4 делит 12, но не 18, поэтому общим делителем оно не является. Число 6 делит и 12, и 18. Для НОД выбираем наибольшее из таких подходящих чисел.
С кратными направление проверки меняется: общее кратное должно само делиться на 12 и на 18. Число 36 подходит; 24 не подходит, потому что не делится на 18. В определении НОК ищут положительное число, поэтому нуль не рассматривают.
ИССЛЕДУЙ САМ
Общие делители двух чисел
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
НОД выбираем среди делителей, НОК — среди положительных кратных.
Одинаковые наборы
Из 12 карандашей и 18 фломастеров получится максимум 6 одинаковых наборов: по 2 карандаша и 3 фломастера. Всё распределено без остатка.
Если спрашивают наибольшее число одинаковых групп из нескольких запасов, обычно ищут НОД.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Почему задачу о наборах решает НОД
Предположим, делаем k одинаковых наборов из 12 карандашей и 18 фломастеров, расходуя всё. Тогда и 12, и 18 должны делиться на k: иначе один из видов предметов нельзя распределить поровну. Значит, число наборов обязано быть общим делителем.
Возможны 1, 2, 3 или 6 наборов. Слово «максимум» выбирает 6. Это число наборов, а не число предметов в каждом: содержимое набора находят отдельно — 2 карандаша и 3 фломастера.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Разделить всё на максимально возможное число одинаковых наборов — задача на НОД.
Когда события совпадут
Первый теплоход возвращается через 12, 24, 36, … суток; второй — через 18, 36, … . Первое новое совпадение — через 36 суток.
Ищем НОК. Проверяем ответ: 36 делится и на 12, и на 18; меньшего положительного общего кратного нет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Почему совпадение ищут среди кратных
После совместного старта первый теплоход возвращается через 12, 24, 36 суток. Второй — через 18, 36. Время общего возвращения должно состоять из целого числа рейсов каждого теплохода, то есть делиться на оба срока. Первое такое время — НОК.
Перед вычислением реши, что ищешь: размер или число равных групп часто связано с делителями, а время повторного совпадения — с кратными. Не выбирай НОД только потому, что в вопросе есть слово «наибольший»: сначала проверь смысл деления.
Подумай и объясни
Чему равны НОД и НОК для 4 и 12?
Сверить рассуждение
НОД = 4, НОК = 12: меньшее число делит большее. Это видно без длинных списков.
Главная мысль
Первое повторное совпадение периодических событий — задача на НОК.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Делитель делит данное число; кратное делится на данное число.
НОД выбираем среди делителей, НОК — среди положительных кратных.
Разделить всё на максимально возможное число одинаковых наборов — задача на НОД.
Первое повторное совпадение периодических событий — задача на НОК.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.