ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Что такое признак делимости
Признак позволяет понять по записи числа, делится ли оно на другое число без остатка. Он не заменяет вычисление частного, если оно требуется.
Если все слагаемые делятся на число, их сумма тоже делится на него. Если один множитель делится на число, всё произведение тоже делится.
Признак — короткое доказательное правило
Чтобы узнать, делится ли 12 345 на 5, не обязательно находить частное. Достаточно признака по последней цифре. Но если вопрос звучит «Сколько получится?», нужен ещё результат деления.
Признак должен работать для всех чисел, к которым его применяют. Удача на двух примерах не доказывает правило. Например, нечётные 15 и 25 делятся на 5, но нечётное 17 — нет.
Главная мысль
Признак отвечает на вопрос о делении без остатка.
Последняя цифра и две последние
На 2 делятся числа с последней цифрой 0, 2, 4, 6, 8; на 5 — с 0 или 5; на 10 — с 0.
Для делимости на 4 проверь число из двух последних цифр: 34 528 делится, потому что 28 делится на 4. Концовка 00 тоже подходит.
ПОЧЕМУ ТАК
Почему достаточно конца записи
Любое целое число десятков делится и на 2, и на 5. В числе 3470 + 8 первая часть уже делится на 2; всё решают последние 8 единиц. Аналогично для 5 достаточно проверить единицы.
Для 4 десятка недостаточно: 10 на 4 не делится. Зато каждая сотня делится на 4, поэтому отделяют две последние цифры. В 3528 первые 3500 делятся на 4; остаётся проверить 28. Так длина проверяемого «хвоста» связана с устройством десятичной записи.
ИССЛЕДУЙ САМ
Проверяем шесть признаков
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для 2, 5, 10 важна последняя цифра; для 4 — две последние.
Сумма цифр
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9.
325 284: сумма 24, поэтому число делится на 3, но не на 9. Проверяй именно сумму цифр, а не последнюю цифру.
ПОЧЕМУ ТАК
Почему помогает сумма цифр
Рассмотрим 243 = 2 · 100 + 4 · 10 + 3. Представим 100 как 99 + 1, а 10 как 9 + 1. Получится 2 · 99 + 4 · 9 + (2 + 4 + 3). Первые два слагаемых делятся на 9, поэтому остаётся проверить сумму цифр 9.
Тот же довод подходит для 3, потому что 9 и 99 делятся и на 3. Но признак на 3 не превращается в признак на 9: сумма цифр 12 делится на 3, а на 9 — нет.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для 3 и 9 сложи все цифры числа.
Несколько условий сразу
Число, кратное 10, также кратно 2 и 5. Число, кратное 9, также кратно 3. Обратные утверждения по отдельности неверны.
Чтобы вставить пропущенную цифру, проверь все её возможные значения 0–9. В начале многозначного числа нуль стоять не должен.
Пропущенная цифра: соедини условия
- Прочитай ограничения
Пусть число 4□2 должно делиться на 3 и на 2. Последняя цифра 2 уже обеспечивает делимость на 2.
- Используй оставшийся признак
Сумма цифр равна 6 плюс неизвестная цифра. Чтобы она делилась на 3, подходят 0, 3, 6, 9.
- Проверь все варианты
402, 432, 462, 492 удовлетворяют обоим требованиям. Нельзя остановиться после первого найденного варианта, если спрашивают все.
Подумай и объясни
Верно ли, что сумма двух чисел, не делящихся на 3, тоже не делится на 3?
Сверить рассуждение
Нет: 1 и 2 по отдельности не делятся на 3, но их сумма 3 делится. Признак для суммы делящихся слагаемых нельзя бездумно обращать.
Главная мысль
Каждое условие делимости нужно проверить отдельно.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Признак отвечает на вопрос о делении без остатка.
Для 2, 5, 10 важна последняя цифра; для 4 — две последние.
Для 3 и 9 сложи все цифры числа.
Каждое условие делимости нужно проверить отдельно.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.