ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Простое, составное, единица
Простое натуральное число имеет ровно два различных делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11. Составное имеет больше двух делителей.
1 — ни простое, ни составное: у него один делитель. 2 — единственное чётное простое число. Нечётность сама по себе не означает простоту: 9 = 3 · 3.
Простые числа — множители, которые дальше не раскладываются
Число 12 можно представить произведением меньших натуральных чисел: 3 · 4. Число 7 так не представишь: есть только 1 · 7. Поэтому 7 простое, а 12 составное. Число 1 выделяется отдельно: у него даже нет двух различных делителей.
Нечётность не заменяет проверку простоты: 21 = 3 · 7. И наоборот, чётное 2 простое, потому что его делители — только 1 и 2; у любого большего чётного числа есть дополнительный делитель 2.
Главная мысль
Простота определяется числом делителей.
Разложение на простые множители
Дели число на простые делители по очереди, пока не получишь 1. Все использованные делители образуют разложение.
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3². Запись 72 = 8 · 9 ещё не является разложением на простые множители.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Два пути приводят к одним простым множителям
Можно разложить 60 как 6 · 10 = 2 · 3 · 2 · 5. Можно начать с 4 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5. Порядок отличается, но набор простых множителей одинаков: две двойки, тройка и пятёрка.
Если остановиться на 4 · 15, работа не закончена: оба множителя составные. В записи 2² · 3 · 5 показатель 2 хранит число повторений двойки. Для проверки перемножь все полученные множители.
ИССЛЕДУЙ САМ
Разложение по шагам
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
В окончательном разложении каждый множитель простой.
НОД: общая часть
Разложи оба числа. Возьми общие простые множители в количестве, имеющемся в каждом разложении.
72 = 2³ · 3², 162 = 2 · 3⁴. НОД = 2 · 3² = 18. Если общих простых множителей нет, НОД = 1; такие числа взаимно простые.
ПОЧЕМУ ТАК
Для НОД берут столько множителей, сколько есть у обоих
У 72 три двойки и две тройки, у 162 одна двойка и четыре тройки. Общая часть может содержать только одну двойку и две тройки: большего количества у одного из чисел не хватит. Поэтому НОД = 2 · 3² = 18.
Взаимно простые числа не обязаны быть простыми по отдельности. Например, 8 = 2³ и 9 = 3² — составные, но общих простых множителей нет. Их единственный общий делитель — 1.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для НОД берут общие множители с меньшим числом повторений.
НОК: всё необходимое
Возьми разложение одного числа и добавь множители, которых не хватает для делимости на другое. Для 18 = 2 · 3² и 24 = 2³ · 3 получаем НОК = 2³ · 3² = 72.
Для взаимно простых чисел НОК равен произведению. Если одно число делится на другое, НОК равен большему.
Два разных отбора множителей
| Что ищем | Как отбираем | Для 18 = 2 · 3² и 24 = 2³ · 3 |
|---|---|---|
| НОД | Общее в меньшем количестве | 2 · 3 = 6 |
| НОК | Всё нужное в большем количестве | 2³ · 3² = 72 |
Зачем не перемножать числа сразу
18 · 24 = 432 — общее кратное, но не наименьшее. В произведении общие множители взяты лишний раз. Число 72 уже содержит достаточно двоек и троек, чтобы делиться на каждое исходное число.
Главная мысль
Для НОК берут все нужные множители с большим числом повторений.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Простота определяется числом делителей.
В окончательном разложении каждый множитель простой.
Для НОД берут общие множители с меньшим числом повторений.
Для НОК берут все нужные множители с большим числом повторений.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.