ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Равенство с неизвестным
Уравнение — равенство с переменной. Корень — значение переменной, при котором равенство верно.
2520 : y = 360 имеет корень 7, потому что 2520 : 7 = 360. Решить уравнение — найти все корни или показать, что их нет.
Выражение и уравнение решают разные задачи
| Запись | Что дано | Что нужно сделать |
|---|---|---|
| x + 5 | Способ вычислить значение | Задать x и вычислить |
| x + 5 = 12 | Условие на значение x | Найти x, при котором получится 12 |
Корень проверяют равенством
Число 7 подходит не потому, что оно похоже на ответ, а потому, что 7 + 5 и 12 дают одинаковый результат. Подстановка — окончательная проверка любого способа решения: подбором, обратным действием или преобразованием.
Главная мысль
Корень должен удовлетворять исходному равенству.
Проверка подстановкой
Левая и правая части должны давать одинаковое число. В модели меняй x и следи за равновесием.
Для x + 5 = 12 подходит x = 7. При x = 6 слева 11, поэтому равенство неверно. Случайное близкое значение корнем не считается.
ПОЧЕМУ ТАК
Равенство можно представить весами
Левая и правая части — две чаши. У x + 5 = 12 на одной чаше неизвестное количество и ещё 5, на другой 12. Убрав по 5 с обеих сторон, сохраним равновесие и получим x = 7.
Если изменить только одну сторону, получится другое условие. Модель помогает увидеть это: значение x, дающее перевес, не является корнем. В обычной задаче чаши изображают числа, а не обязательно реальную массу.
ИССЛЕДУЙ САМ
Найди равновесие
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Равенство верно только при точном совпадении частей.
Обратные действия
x + a = b → x = b − a. x − a = b → x = b + a. a − x = b → x = a − b.
ax = b → x = b : a при a ≠ 0. x : a = b → x = ab при a ≠ 0. a : x = b → x = a : b при a ≠ 0 и b ≠ 0; сам x тоже не может быть нулём.
Важна роль неизвестного
| Уравнение | Кем является x | Как найти |
|---|---|---|
| x − 8 = 13 | Уменьшаемым | 13 + 8 = 21 |
| 21 − x = 13 | Вычитаемым | 21 − 13 = 8 |
| x : 4 = 6 | Делимым | 6 · 4 = 24 |
| 24 : x = 6 | Делителем | 24 : 6 = 4 |
Не заучивай действие по соседнему знаку
В двух уравнениях со знаком минус неизвестное находят разными действиями. Сначала назови компонент. Смысл вычитания и деления подскажет, какая связь восстанавливает его.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Способ зависит от того, какой компонент неизвестен.
Несколько действий и число корней
В 2 · (x − 5) : 10 = 3 начни с последнего действия: 2(x − 5) = 30; x − 5 = 15; x = 20. Проверь подстановкой.
Не каждое уравнение имеет ровно один корень. x − x = 0 верно при любом допустимом x; 70 − x = 80 не имеет корней среди натуральных чисел.
Разматываем цепочку в обратном порядке
- Найди последнее действие над неизвестным
В 2(x − 5) : 10 = 3 всё выражение слева в конце разделили на 10. До деления было 30.
- Восстанови предыдущий результат
2(x − 5) = 30, значит, до умножения на 2 было 15.
- Дойди до x и проверь
x − 5 = 15, поэтому x = 20. Подстановка: 2 · (20 − 5) : 10 = 3.
Всегда помни допустимые значения
Уравнение 70 − x = 80 не имеет натурального корня: вычитание натурального числа не увеличивает 70 до 80. Уравнение x − x = 0, напротив, верно для любого натурального x.
Главная мысль
Разбирай сложное уравнение от последнего действия к первому.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Корень должен удовлетворять исходному равенству.
Равенство верно только при точном совпадении частей.
Способ зависит от того, какой компонент неизвестен.
Разбирай сложное уравнение от последнего действия к первому.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.