ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Два взаимных положения
Две различные прямые на плоскости параллельны, если не пересекаются: a ∥ b. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом: a ⟂ b.
Пересекающиеся под 60° прямые не являются перпендикулярными. Горизонтальное или вертикальное положение рисунка само по себе ничего не доказывает.
Направление важнее положения на странице
Две параллельные прямые можно нарисовать горизонтально, вертикально или наклонно. Если повернуть лист, их взаимное положение не изменится. Так же перпендикулярность зависит от угла между прямыми, а не от того, похож рисунок на знак «плюс» или «крестик».
Условие «на одной плоскости» существенно. В этом параграфе сравниваем линии на одной плоской поверхности и мысленно продолжаем их за края рисунка.
Главная мысль
Перпендикулярность означает угол 90°.
Проверка углом
При пересечении перпендикулярных прямых все четыре угла прямые. Проверить это можно угольником или транспортиром.
Меняй наклон одной прямой в модели. При 90° появляется отметка прямого угла. Параллельные прямые показываются отдельно: они различны и не имеют общей точки.
ПОЧЕМУ ТАК
Одного прямого угла при пересечении достаточно
Две прямые при пересечении образуют четыре угла. Если один равен 90°, соседний дополняет его до развёрнутого: 180° − 90° = 90°. Два оставшихся также прямые.
Поэтому угольник прикладывают к одной из четырёх областей у точки пересечения. Если стороны прямого угла точно совпали с прямыми, проверка выполнена. Грубый рисунок или видимая симметрия не заменяют измерение.
ИССЛЕДУЙ САМ
Когда прямые перпендикулярны?
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Ориентируйся на угол между прямыми, а не на наклон страницы.
Построение параллельной
Приложи одну сторону угольника к заданной прямой. Вдоль другой стороны расположи линейку и удерживай её.
Передвинь угольник вдоль линейки, не поворачивая. Проведи новую прямую вдоль той же стороны угольника. Направление сохранится.
Почему построение со сдвигом работает
- Зафиксируй направление
Одна сторона угольника лежит вдоль исходной прямой. Линейка поддерживает другую сторону и задаёт путь сдвига.
- Передвинь без поворота
Все точки угольника смещаются, но его наклон сохраняется. Именно отсутствие поворота важно.
- Проведи новую прямую
Линия по той же стороне угольника имеет прежнее направление и проходит через новую точку. Не сдвигай линейку вместе с угольником.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для параллельной переносим угольник без поворота.
Построение перпендикуляра
Одну сторону прямого угла угольника совмести с прямой. По другой стороне проведи новую прямую через нужную точку.
Две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Отрезки могут выглядеть непересекающимися, но их продолжения — пересекаться.
Разберём ошибку
Неверно Эти два отрезка не пересекаются, значит, прямые параллельны.
Короткие видимые части могут не встречаться, хотя их продолжения пересекутся за пределами рисунка. Параллельность относится к целым прямым.
Как рассуждать: Продолжи направления мысленно или линейкой. Для точного построения используй угольник, а не расстояние между концами отрезков.
Подумай и объясни
Почему две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?
Сверить рассуждение
Обе образуют с третьей прямые углы и имеют одно направление. На одной плоскости они идут рядом и не пересекаются. Уточнение «различные» исключает совпадение прямых.
Главная мысль
Свойства относятся к полным прямым, а не только к видимым кусочкам.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Перпендикулярность означает угол 90°.
Ориентируйся на угол между прямыми, а не на наклон страницы.
Для параллельной переносим угольник без поворота.
Свойства относятся к полным прямым, а не только к видимым кусочкам.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.