ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Известные формулы
У прямоугольника S = ab, у квадрата S = a². Перед вычислением вырази стороны в одинаковых единицах.
Для более сложной фигуры можно найти знакомые прямоугольники внутри неё или вокруг неё.
Сложную фигуру можно собрать из знакомых
Формула прямоугольника S = ab считает, сколько единичных квадратов заполняют его внутренность. Если фигура имеет выступ или вырез, одна пара внешних размеров уже не описывает всю площадь.
Вспомогательные линии позволяют выделить прямоугольники и прямоугольные треугольники. Это не изменение фигуры, а способ организовать подсчёт. Размеры новых частей находят из известных длин, не угадывают по виду картинки.
Главная мысль
Сложную фигуру сводят к знакомым простым фигурам.
Прямоугольный треугольник
Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника. Значит, площадь каждого — половина площади прямоугольника: S = ab : 2.
a и b здесь — именно стороны, образующие прямой угол. Произведение любых двух сторон треугольника делить пополам нельзя.
ПОЧЕМУ ТАК
Половина прямоугольника объясняет деление на два
Возьми прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см и проведи диагональ. Она разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Весь прямоугольник занимает 24 см², значит, каждый треугольник — 12 см².
В произведение входят стороны, образующие прямой угол: именно они стали длиной и шириной прямоугольника. Наклонная сторона не подходит на их место. Удвоив треугольник, можно мысленно восстановить прямоугольник и проверить выбор сторон.
ИССЛЕДУЙ САМ
Площадь через прямоугольник
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Половина произведения двух сторон прямого угла — площадь прямоугольного треугольника.
Разбиваем и складываем
Если фигура состоит из неперекрывающихся частей, её площадь равна сумме их площадей. Кухня из прямоугольников 5×6 м и 2×4 м: S = 30 + 8 = 38 м².
Проведи вспомогательную линию и подпиши размеры каждого прямоугольника. Проверь, что вся фигура покрыта и нет наложений.
Раздели фигуру без потерь и повторов
- Проведи удобную линию
Разбей Г-образную фигуру на два прямоугольника, для которых можно определить обе стороны.
- Подпиши размеры каждой части
Общая длина и длина выступа помогают найти недостающую сторону вычитанием. Не переноси размер всей фигуры на меньшую часть.
- Сложи площади
Части не должны перекрываться и должны покрывать всю фигуру. Иначе один участок будет посчитан дважды или пропущен.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При разбиении части не должны перекрываться.
Достраиваем и вычитаем
Иногда удобнее дополнить фигуру до большого прямоугольника и вычесть лишнюю площадь. Например, 8×6 минус вырез 3×2: 48 − 6 = 42.
Два способа — сложение частей и вычитание выреза — дают одну площадь. Используй второй способ для проверки.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Один вырез — два способа проверки
Из прямоугольника 8 × 6 вырезали в углу прямоугольник 3 × 2. Вычитание даёт 48 − 6 = 42 квадратные единицы.
Можно разрезать остаток на прямоугольники 5 × 6 и 3 × 4: 30 + 12 = 42. Совпадение результатов подтверждает, что границы частей выбраны верно. Полезно нарисовать оба разбиения, а не просто повторить одни вычисления.
Подумай и объясни
Изменится ли суммарная площадь, если части разрезанной фигуры переложить без наложений?
Сверить рассуждение
Нет: ни одна часть не исчезла и не добавилась. Форма и периметр могут измениться, а сумма площадей сохранится.
Главная мысль
Площадь остатка равна площади целого минус площадь выреза.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Сложную фигуру сводят к знакомым простым фигурам.
Половина произведения двух сторон прямого угла — площадь прямоугольного треугольника.
При разбиении части не должны перекрываться.
Площадь остатка равна площади целого минус площадь выреза.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.