ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Смысл среднего
Среднее арифметическое — сумма всех чисел, делённая на их количество. Это результат равномерного распределения общей суммы.
Для 430, 425, 435 среднее равно (430 + 425 + 435) : 3 = 430. Сумма сохраняется, значения как будто выравниваются.
ПОЧЕМУ ТАК
Среднее сохраняет общую сумму
Представь три стопки: 2, 5 и 8 тетрадей. Всего 15. Если перераспределить их поровну, в каждой окажется 15 : 3 = 5. Это среднее арифметическое. Не обязательно, чтобы исходно какая-то стопка содержала именно среднее количество.
Например, для чисел 2 и 3 среднее равно 2 12. Для неделимых предметов это удобная числовая характеристика, а не требование физически раздать каждому половину предмета.
Главная мысль
Среднее = сумма : количество.
Выравниваем столбики
Меняй значения в модели. Линия среднего показывает уровень, который получился бы при равномерном распределении.
Повторяющиеся значения нужно учитывать столько раз, сколько они встречаются. Нули тоже считаются, если входят в набор.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Нули и повторения влияют на среднее
За три дня ученик прочитал 0, 6 и 6 страниц. Всего 12 страниц за три дня, поэтому среднее — 4 страницы в день. Нуль означает день без чтения, а не отсутствие дня в наблюдении.
Если убрать нуль, получится 6 страниц за день чтения — это уже ответ на другой вопрос. Если оставить только различные числа 0 и 6, потеряется ещё одно наблюдение. В знаменателе должно стоять количество всех рассматриваемых значений.
ИССЛЕДУЙ САМ
Распределим поровну
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
В знаменателе количество всех наблюдений, включая повторы и нули.
Находим неизвестное
Если среднее двух чисел 64, сумма равна 64 · 2 = 128. При первом числе 48 второе 128 − 48 = 80.
Среднее не меньше наименьшего и не больше наибольшего числа набора. Это удобная проверка правдоподобия.
От среднего восстанови сумму
- Используй смысл выравнивания
Среднее четырёх чисел равно 7. Значит, их сумма такая же, как у четырёх семёрок: 4 · 7 = 28.
- Сложи известные числа
Если три числа — 4, 6 и 9, их сумма 19.
- Найди оставшееся и проверь
Четвёртое число 28 − 19 = 9. Проверка: (4 + 6 + 9 + 9) : 4 = 7.
Подумай и объясни
Может ли среднее положительных чисел оказаться больше каждого из них?
Сверить рассуждение
Нет. При равномерном распределении не получится всем дать больше самого большого исходного значения, сохранив сумму. Среднее лежит между минимумом и максимумом.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Сумму восстанавливают умножением среднего на количество.
Средняя скорость
Средняя скорость = весь путь : всё время. За 2 ч по 12 км/ч и 3 ч по 16 км/ч пройдено 72 км за 5 ч: средняя скорость 14 25 км/ч.
Среднее (12 + 16) : 2 = 14 здесь не подходит: с разными скоростями ехали разное время. Простое среднее скоростей подходит при равных временах.
ПОЧЕМУ ТАК
Средняя скорость учитывает время каждого участка
Скорость 12 км/ч действовала 2 часа, а 16 км/ч — 3 часа. Поездка не поровну распределена между двумя скоростями: на более быстрой ехали дольше. Поэтому простая полусумма 14 не описывает весь путь за всё время.
Сначала считаем пути: 24 и 48 км, вместе 72 км. Время 5 часов. Средняя скорость 72 : 5 = 14 25 км/ч. Если бы оба участка занимали по одному часу, полусумма скоростей действительно подошла бы.
Главная мысль
Для средней скорости учитывай длительность каждого участка.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Среднее = сумма : количество.
В знаменателе количество всех наблюдений, включая повторы и нули.
Сумму восстанавливают умножением среднего на количество.
Для средней скорости учитывай длительность каждого участка.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.