ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Устройство фигуры
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольными гранями. Противоположные грани равны.
У него 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. В каждой вершине сходятся три ребра. Их длины — длина a, ширина b и высота c.
Три элемента объёмной фигуры
| Элемент | Что изображает | У прямоугольного параллелепипеда |
|---|---|---|
| Грань | Плоскую сторону поверхности | 6 прямоугольников |
| Ребро | Общую сторону двух граней | 12 отрезков |
| Вершина | Точку встречи рёбер | 8 точек |
Названия помогают выбрать величину
Грань имеет площадь, ребро — длину, вершина только положение. Если спрашивают длину проволоки для каркаса, считать площади граней не нужно. Если оклеивают коробку, одних длин рёбер недостаточно.
Главная мысль
Три измерения определяют размеры фигуры.
Куб и чертёж
Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны. Его грани — одинаковые квадраты.
На объёмном рисунке прямоугольные грани выглядят наклонными из-за способа изображения. Невидимые рёбра показывают штрихами. Изменяй размеры модели.
ПОЧЕМУ ТАК
Чертёж не передаёт все размеры буквально
Чтобы показать глубину на плоском листе, уходящие назад рёбра рисуют наклонно. Из-за этого прямоугольная грань может выглядеть как наклонный четырёхугольник. Её свойства определяются описанием тела и размерами, а не видимым углом на бумаге.
У куба все грани — равные квадраты, даже если на рисунке они выглядят разными. Штриховые рёбра показывают скрытую часть фигуры: они существуют, хотя не видны с выбранной стороны.
ИССЛЕДУЙ САМ
Три измерения и шесть граней
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Куб — особый случай прямоугольного параллелепипеда.
Каркас из рёбер
Каждое измерение повторяется на четырёх рёбрах. Сумма длин рёбер L = 4(a + b + c). Для куба L = 12a.
При размерах 12, 8 и 5 дм потребуется 4 · 25 = 100 дм проволоки без учёта соединений.
ПОЧЕМУ ТАК
Каждая из трёх длин повторяется четыре раза
У коробки четыре ребра длины a: два сверху и два снизу. Аналогично четыре ребра длины b и четыре высоты c. Всего 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c).
В кубе эти три длины одинаковы, поэтому сумма превращается в 12a. Это длина всего каркаса, а не периметр одной грани. На рисунке пометь одинаковые рёбра одним цветом — так легче не пропустить скрытые.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для каркаса складывают длины всех 12 рёбер.
Площадь поверхности
Три пары равных граней имеют площади ab, ac и bc. Поэтому S = 2(ab + ac + bc). Для куба S = 6a².
При 8, 6, 5 см: S = 2(48 + 40 + 30) = 236 см². Открытая коробка без крышки требует площади пяти граней, поэтому внимательно читай условие.
Поверхность удобно считать парами
- Найди три разные площади
Для коробки 8 × 6 × 5 см: дно 48 см², боковые грани двух видов — 40 и 30 см².
- Учти противоположные грани
Каждый прямоугольник повторяется дважды: 2 · (48 + 40 + 30) = 236 см².
- Проверь условия покрытия
Если коробка открыта сверху, одной грани 8 × 6 нет. Площадь пяти граней равна 236 − 48 = 188 см², без припусков на склейку.
Подумай и объясни
У куба с ребром 3 см чему равна площадь одной грани и всей поверхности?
Сверить рассуждение
Одна грань: 3² = 9 см². Шесть граней: 6 · 9 = 54 см². Число граней умножает площадь, а не длину ребра.
Главная мысль
Поверхность — сумма площадей нужных граней.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Три измерения определяют размеры фигуры.
Куб — особый случай прямоугольного параллелепипеда.
Для каркаса складывают длины всех 12 рёбер.
Поверхность — сумма площадей нужных граней.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.