ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Произведение как часть части
Половина от 35 — это 35 · 12 = 310. Прямоугольник со сторонами 35 м и 12 м занимает 310 м².
В отличие от умножения на натуральное число больше 1, умножение положительного числа на правильную дробь уменьшает его.
Умножить на дробь — взять указанную часть
Умножение на 3 означает взять три таких количества. Умножение на 12 — половину количества. Поэтому половина от 35 равна 310: выбранная часть стала вдвое меньше.
Привычка «умножение всегда увеличивает» возникла при работе с натуральными множителями больше 1. Для положительного числа результат уменьшается при множителе между 0 и 1, не меняется при множителе 1 и увеличивается при множителе больше 1.
Главная мысль
Умножение на правильную дробь берёт часть исходного числа.
Модель площади
Раздели единичный квадрат на равные столбцы и строки. Выбери долю по ширине и долю по высоте. Пересечение показывает произведение.
Знаменатели задают общее число маленьких клеток, числители — число клеток в выбранном прямоугольнике.
ПОЧЕМУ ТАК
Почему перемножают числители и знаменатели
Разделим квадрат на 5 равных столбцов и 3 равные строки: всего 5 · 3 = 15 одинаковых клеток. Выделим 25 по ширине и 23 по высоте. В пересечении окажутся 2 · 2 = 4 клетки.
Площадь выбранного прямоугольника составляет 415 единичного квадрата. Знаменатели посчитали все клетки, числители — выбранные. Эта схема объясняет правило, а не просто иллюстрирует уже готовый ответ.
ИССЛЕДУЙ САМ
Произведение как площадь
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Произведение дробей видно как пересечение двух долей квадрата.
Правило умножения
(a/b) · (c/d) = ac/bd. Умножай числители между собой и знаменатели между собой. Если можно, сокращай множители до вычисления произведений.
1625 · 58 = (2 · 1)/(5 · 1) = 25. Общий знаменатель для умножения не требуется.
Сократи до больших вычислений
- Собери произведение в одну дробь
Для 1625 · 58 числитель — 16 · 5, знаменатель — 25 · 8.
- Убери общие множители
16 и 8 раздели на 8: останутся 2 и 1. 5 и 25 раздели на 5: останутся 1 и 5.
- Перемножь оставшееся
Получаем 25. Мы делили весь числитель и весь знаменатель на одинаковые множители, поэтому значение сохранялось.
Сокращают множители
Такое сокращение нельзя переносить через знак сложения: в (2 + 3)/3 число 3 в числителе — слагаемое, а не множитель всего числителя.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Смешанные и натуральные числа
Смешанные числа сначала запиши неправильными дробями: 2 35 · 3 34 = 135 · 154 = 394 = 9 34.
Натуральное число можно записать со знаменателем 1: 415 · 3 = 415 · 31 = 45. Свойства умножения сохраняются.
Разберём ошибку
Неверно 2 12 · 3 13 = 6 16: целые умножили на целые, дробные на дробные.
В смешанном числе соединены суммой две части. Такое действие теряет произведения целой части одного числа на дробную часть другого.
Как рассуждать: Сначала получи 52 · 103 = 253 = 8 13. Приблизительная оценка тоже помогает: 2 12, взятое чуть больше трёх раз, должно дать больше 7 12.
Подумай и объясни
Нужен ли общий знаменатель перед умножением 23 и 45?
Сверить рассуждение
Нет. Правило умножения сразу даёт 815. Общий знаменатель нужен для сложения и вычитания, где считают одинаковые доли.
Главная мысль
Перед умножением смешанное число целиком превращают в дробь.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями.
Дробь вводи как 3/4, смешанное число — как 2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Умножение на правильную дробь берёт часть исходного числа.
Произведение дробей видно как пересечение двух долей квадрата.
Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Перед умножением смешанное число целиком превращают в дробь.
Записывай промежуточные действия: так легче найти и исправить ошибку.
Проверяй результат по условию и указывай нужную единицу измерения.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.