ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Когда деление заканчивается
Два возможных исхода
Дробь 38 превращается в 0,375: при делении остаток стал нулём. Такую запись называют конечной. При делении 1 на 3 снова и снова остаётся 1: цифра 3 повторяется бесконечно.
Запись 0,(3) означает 0,333… Скобки обозначают период — повторяющуюся группу цифр. 0,3 и 0,(3) не равны: первая запись оборвалась, вторая продолжается бесконечно.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Период рождается из повторения остатка
При делении 1 на 6 десятые ещё не повторяются. Повторение начинается со следующего шага.
Первый шаг10 : 6 → 1, ост. 4
Второй шаг40 : 6 → 6, ост. 4
Тот же остаток — тот же шаг40 : 6 → 6, ост. 4
Почему период здесь не «16»?
Потому что единица появилась один раз до повторения. Периодом называют только бесконечно повторяющуюся группу цифр: здесь это шестёрка.
Главная мысль
Остаток 0 завершает десятичную запись.
Почему повторяется период
ПОЧЕМУ ТАК
Остатков не бесконечно много
При делении на 7 возможны остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если нуль не появляется, какой-то остаток повторится. С этого места повторятся и цифры частного: 17 = 0,(142857).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Период не обязательно начинается сразу
16 = 0,1666… = 0,1(6). До повторения стоит цифра 1, а период состоит только из цифры 6.
ИССЛЕДУЙ САМ
Следим за остатками
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Одинаковый остаток приводит к той же следующей цифре и тому же продолжению.
Признак конечной дроби
Связь со знаменателями 10, 100, 1000
Каждая степень десяти состоит из двоек и пятёрок. Поэтому 320 можно привести к знаменателю 100: 15100 = 0,15. У знаменателя 6 после сокращения остаётся тройка — конечной записи не получится.
Сначала сократи: 375 = 125 = 0,04. Несокращённый знаменатель 75 содержит тройку, но она исчезает вместе с общим множителем числителя.
Проверка конечности
- 01Сначала сократи
675 = 225
Общий множитель 3 исчезает из числителя и знаменателя.
- 02Разложи знаменатель
25 = 5 · 5
Остались только множители 2 и 5: можно получить степень десяти.
- 03Дополни до сотых
225 = 8100 = 0,08
Деление завершится. Сокращение нужно выполнить до анализа знаменателя.
Если после сокращения остаётся другой простой множитель, десятичная запись рациональной дроби будет периодической.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
У сокращённой дроби конечная запись возможна, если в знаменателе только множители 2 и 5.
Точное и приближённое
Разберём ошибку
Неверно 13 = 0,33
Две тройки — лишь приближённая запись бесконечной дроби.
Как рассуждать: Точно: 13 = 0,(3). До сотых: 13 ≈ 0,33.
Подумай и объясни
Почему 0,(9) равно 1?
Сверить рассуждение
Например, 13 + 23 = 1. Их периодические записи 0,(3) и 0,(6) в сумме дают 0,(9). Это особая запись того же числа 1.
Главная мысль
Периодическую дробь нельзя заменять короткой десятичной без знака приближения.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Остаток 0 завершает десятичную запись.
Одинаковый остаток приводит к той же следующей цифре и тому же продолжению.
У сокращённой дроби конечная запись возможна, если в знаменателе только множители 2 и 5.
Периодическую дробь нельзя заменять короткой десятичной без знака приближения.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.