§ 2. Основные задачи на проценты — Математика, 6 класс, глава 2

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Что известно, что ищем

Три вопроса к одной ситуации

В коробке 80 карандашей, из них 20 красных. Здесь целое — 80, часть — 20, процент красных — 25 %. Если скрыть любое из этих трёх чисел, получится свой тип задачи.

Перед вычислением произнеси: «За 100 % принимаю…». Это особенно важно, когда сравнивают два количества: 20 от 80 и 80 от 20 — разные проценты.

ПОСМОТРИ НА СХЕМУ

Закрой одно число — получи новую задачу

В одной ситуации связаны три числа. Вместо заучивания отдельных задач найди, какое место в связи неизвестно.

Целое80

Доля25 % = 0,25

Часть20

Как читать: Связь читается слева направо: 80 · 0,25 = 20. Если скрыть 80, нужно разделить 20 на 0,25. Если скрыть процент, раздели 20 на 80 и переведи полученную долю в проценты.

Почему при поиске целого нельзя умножать 20 на 0,25?

Получится четверть уже известной части, то есть 5. А искомое целое должно содержать четыре таких части по 20: 80.

Главная мысль

В задачах на проценты различают целое, часть и процент.

Одна схема — три решения

Выбираем действие

Ищем	Пример
Часть	25 % от 80: 80 · 0,25 = 20
Целое	20 — это 25 %: 20 : 0,25 = 80
Процент	20 от 80: 20 : 80 · 100 % = 25 %

ПОЧЕМУ ТАК

Почему для целого нужно делить

Если 20 карандашей — четверть коробки, то вся коробка в четыре раза больше. Деление на 0,25 как раз увеличивает число в четыре раза.

ИССЛЕДУЙ САМ

Часть, целое и процент

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Часть = целое × доля; целое = часть : доля.

Изменение цены

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Скидка 15 %

Цена 200 р. После скидки остаётся 85 % прежней цены: 200 · 0,85 = 170 р. Сама скидка равна 30 р.; это другой вопрос.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Сначала вверх, затем вниз

100 р. увеличили на 20 %: стало 120 р. Потом уменьшили на 20 % новой цены: 120 · 0,8 = 96 р. Основание второго процента изменилось, поэтому исходная цена не вернулась.

Цена после скидки: два равных способа

01Сначала размер скидки
200 · 0,15 = 30
30 рублей — величина уменьшения, ещё не новая цена.
02Вычти из исходного
200 − 30 = 170
Ответ соответствует вопросу «сколько нужно заплатить».
03Проверь через остаток
200 · 0,85 = 170
После скидки осталось 100 % − 15 % = 85 % первоначальной цены.

Два способа используют одно и то же целое. При последовательных скидках основание следующего процента меняется.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Прибавление p % означает умножение на 1 + p/100.

Проверяем основание

Разберём ошибку

Неверно С 80 до 100 — рост на 20 %

Разница равна 20, но первоначальное значение — 80.

Как рассуждать: 20 : 80 · 100 % = 25 %. Обратно с 100 до 80 — снижение на 20 %.

Подумай и объясни

Если выполнено 60 % работы, как найти остаток?

Сверить рассуждение

Осталось 100 % − 60 % = 40 % всей работы. Но оставшаяся часть составляет 4060 = 23 уже выполненной — целое для сравнения другое.

Главная мысль

Процент изменения считают от первоначального значения.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

В задачах на проценты различают целое, часть и процент.

Часть = целое × доля; целое = часть : доля.

Прибавление p % означает умножение на 1 + p/100.

Процент изменения считают от первоначального значения.

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.