ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Отношение двух величин
Сравнение делением
Если на 2 чашки крупы берут 5 чашек воды, отношение крупы к воде равно 2 : 5. Оно описывает состав смеси, а не разность количеств. Удвоим оба количества: отношение 4 : 10 останется тем же.
Однородные величины сначала приводят к общей единице: 1 м : 25 см = 100 см : 25 см = 4. Разные величины тоже можно делить: стоимость на массу даёт цену за килограмм.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Пропорция сохраняет отношение двух частей
В первой смеси 2 мерки одного компонента и 5 другого. Во второй обоих компонентов в три раза больше.
Первая смесь2 : 5
Одинаковое изменение↓ × 3 для обоих
Вторая смесь6 : 15
Почему 2 : 5 = 6 : 10 неверно?
Первое число увеличили втрое, а второе лишь вдвое. Перекрёстные произведения 2 · 10 и 5 · 6 тоже различаются: 20 ≠ 30.
Главная мысль
Отношение a : b определено при b ≠ 0.
Устройство пропорции
Крайние и средние члены
В записи 2 : 5 = 6 : 15 крайние члены — 2 и 15, средние — 5 и 6. Их произведения равны: 2 · 15 = 5 · 6 = 30.
Для a : b = c : d при ненулевых b и d выполняется a · d = b · c. Умножение обеих частей дробного равенства на b · d убирает знаменатели и объясняет это свойство.
Подумай и объясни
Если 2 · 15 = 5 · 6, можно ли записать 2 : 5 = 6 : 15?
Сверить рассуждение
Да: знаменатели 5 и 15 ненулевые, а перекрёстные произведения равны.
ИССЛЕДУЙ САМ
Пропорция на полосах
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Пропорция — верное равенство двух отношений.
Неизвестный член
3 : 4 = x : 20
- Запиши равенство произведений.
4x = 3 · 20.
- Найди x.
x = 60 : 4 = 15.
- Проверь оба отношения.
3 : 4 = 0,75 и 15 : 20 = 0,75.
Крестик — следствие равенства, а не догадка
- 01Запиши отношения
34 = x/20
Оба знаменателя ненулевые, поэтому равенство имеет смысл.
- 02Убери знаменатели
3 · 20 = 4x
Умножение обеих частей на 4 · 20 сохраняет равенство.
- 03Найди множитель
x = 60 : 4 = 15
Проверяем исходную запись: 34 = 1520.
При любом расположении x сначала запиши произведения. Так меньше риск перепутать, какое число должно быть делителем.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Неизвестный множитель равен произведению двух известных членов, делённому на оставшийся.
Перестановки с проверкой
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Не запоминаем крестик без смысла
Из 2 : 5 = 6 : 15 можно получить 2 : 6 = 5 : 15. Проверим: обе дроби равны 13. Но произвольная перестановка, например 2 : 15 = 6 : 5, уже неверна.
Разберём ошибку
Неверно 2 : 0 = 6 : 0 — пропорция, ведь произведения равны
Равенство перекрёстных произведений недостаточно при нулевых знаменателях.
Как рассуждать: Сначала проверь допустимость деления.
Главная мысль
При преобразовании пропорции все новые знаменатели должны оставаться ненулевыми.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Отношение a : b определено при b ≠ 0.
Пропорция — верное равенство двух отношений.
Неизвестный множитель равен произведению двух известных членов, делённому на оставшийся.
При преобразовании пропорции все новые знаменатели должны оставаться ненулевыми.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.