ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Величины меняются вместе
Постоянная цена
Одна тетрадь стоит 3 р. Две стоят 6 р., пять — 15 р. Количество увеличилось в некоторое число раз, стоимость выросла во столько же. Формула C = 3n сохраняет отношение C : n = 3 при n > 0.
Просто одновременного роста недостаточно. Рост ребёнка не удваивается каждый раз, когда удваивается возраст. Для прямой пропорциональности нужен один и тот же множитель.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Две зависимости — два постоянства
Сравним покупку по постоянной цене и прохождение одного и того же пути. Внешне обе задачи связывают две величины, но сохраняют разные числа.
Цена 3 р.2 тетради → 6 р.
Количество × 2, стоимость × 24 тетради → 12 р.
Путь 120 км40 км/ч → 3 ч
Скорость × 2, время : 280 км/ч → 1,5 ч
Если обе величины растут, это всегда прямая пропорциональность?
Нет. У квадрата при удвоении стороны площадь растёт вчетверо. Чтобы зависимость была прямой пропорциональной, обе величины должны изменяться в одно и то же число раз.
Главная мысль
При прямой пропорциональности отношение соответствующих значений постоянно.
Одно растёт — другое уменьшается
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Фиксированный путь
120 км при скорости 40 км/ч проходят за 3 ч, при 60 км/ч — за 2 ч. В обоих случаях v · t = 120. Скорость выросла в 1,5 раза, время уменьшилось в 1,5 раза.
ПОЧЕМУ ТАК
Не любая противоположная перемена подходит
День и ночь в сумме составляют сутки, но их произведение не постоянно. Поэтому увеличение дня и уменьшение ночи само по себе не означает обратную пропорциональность.
ИССЛЕДУЙ САМ
Что остаётся постоянным?
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При обратной пропорциональности произведение соответствующих значений постоянно.
Проверяем по таблице
Какое число сохраняется?
| Пары (x; y) | Проверка |
|---|---|
| (2; 6), (4; 12) | y : x = 3: прямая |
| (2; 12), (4; 6) | xy = 24: обратная |
| (2; 5), (4; 7) | Не подходит ни один признак |
Подумай и объясни
Площадь квадрата прямо пропорциональна стороне?
Сверить рассуждение
Нет: при удвоении стороны площадь увеличивается в 4 раза. Периметр увеличивается в 2 раза, поэтому он прямо пропорционален стороне.
Как выбрать нужную модель
- 01Спроси, что неизменно
Цена? Путь? Работа?
Найди физический или практический смысл постоянной величины.
- 02Проверь изменение вдвое
Вдвое больше → во сколько раз?
Не сравнивай лишь направление роста: важен множитель изменения.
- 03Запиши проверку
y : x = k или xy = k
Для первой проверки x ≠ 0. Если ни одно число не сохраняется, модель не подходит.
Не подгоняй любую таблицу под пропорцию. Сначала зависимость должна следовать из условий.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для прямой зависимости проверяют частные, для обратной — произведения.
Условия модели
Что должно оставаться постоянным
При сравнении числа работников и времени предполагаем одинаковую производительность, одинаковую работу и отсутствие помех друг другу. Без этого удвоение команды не гарантирует сокращение времени вдвое.
Для количества товара и стоимости нужна неизменная цена без добавочной фиксированной платы. Доставка за отдельную сумму меняет зависимость общей стоимости.
Главная мысль
Пропорциональность требует неизменных условий задачи.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При прямой пропорциональности отношение соответствующих значений постоянно.
При обратной пропорциональности произведение соответствующих значений постоянно.
Для прямой зависимости проверяют частные, для обратной — произведения.
Пропорциональность требует неизменных условий задачи.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.