ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Список или правило
Два описания одного набора
A = {2; 4; 6; 8} можно описать как множество положительных чётных чисел, меньших 10. Важно сохранить все ограничения: слово «положительных» исключает 0, а «меньших 10» исключает 10.
Правило должно позволять однозначно проверить любой объект. «Красивые числа» — неудачное математическое условие: люди могут оценивать красоту по-разному. «Двузначные числа, кратные 7» — проверяемое правило.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Один набор можно описать двумя способами
Возьмём натуральные делители числа 12. Их можно назвать правилом или перечислить по одному.
Правило отбораДелители 12
Полный набор A{1; 2; 3; 4; 6; 12}
Чётные делители B{2; 4; 6; 12}
Чем отличаются записи 2 ∈ A и {2} ⊆ A?
Первая говорит о числе 2 как об элементе. Вторая — о множестве, единственный элемент которого равен 2. Обе записи верны, но связывают разные объекты.
Главная мысль
Множество можно задать перечислением элементов или их общим свойством.
Учитываем каждое условие
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Числа больше 10, но меньше 20, кратные 3
Кратные 3 рядом с этим промежутком: 9, 12, 15, 18, 21. После проверки границ остаются {12; 15; 18}. Числа 9 и 21 подходят по кратности, но не по границам.
Подумай и объясни
Одинаковы ли условия «меньше 20» и «не больше 20»?
Сверить рассуждение
Нет. Во втором случае само 20 разрешено, в первом — нет. Это важно, если 20 удовлетворяет остальным условиям.
ИССЛЕДУЙ САМ
Фильтр по свойству
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Элемент должен удовлетворять всем условиям описания.
Подмножество
Набор внутри набора
Если A = {1; 2; 3; 4}, а B = {2; 4}, то B ⊆ A. Здесь сравниваются два множества. Знак ∈ сравнивает элемент с множеством: 2 ∈ A.
Любое множество является подмножеством себя. Пустое множество тоже является подмножеством любого множества: в нём нет элемента, который нарушал бы условие принадлежности. В учебнике знак ⊂ используется и для случая равенства; здесь для ясности пишем ⊆.
Не путай записи
| Запись | Смысл |
|---|---|
| 2 ∈ A | Один элемент входит в A |
| {2; 4} ⊆ A | Каждый элемент набора входит в A |
Сколько подмножеств у двух элементов?
- 01Для первого
Взять a или не взять
Есть два независимых выбора.
- 02Для второго
Взять b или не взять
Для каждого предыдущего выбора снова два варианта.
- 03Собери результаты
∅; {a}; {b}; {a; b}
Получилось 2 · 2 = 4 подмножества. Пустое и исходное тоже учитываем.
Для n различных элементов по тому же рассуждению получится 2ⁿ подмножеств: каждый элемент либо выбран, либо пропущен.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
B — подмножество A, если каждый элемент B входит в A.
Перебираем без пропусков
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Подмножества {a; b}
Возможны ∅, {a}, {b}, {a; b}. Не забывай пустое множество и исходное. Порядок букв внутри скобок нового подмножества не создаёт.
ПОЧЕМУ ТАК
Откуда берутся восемь подмножеств у трёх элементов
Для каждого из трёх элементов есть два решения: включить или не включать. Всего 2 · 2 · 2 = 8. Можно проверить перечислением по размеру: 1 пустое, 3 одноэлементных, 3 двухэлементных, 1 полное.
Главная мысль
При составлении подмножеств каждый элемент либо берут, либо не берут.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Множество можно задать перечислением элементов или их общим свойством.
Элемент должен удовлетворять всем условиям описания.
B — подмножество A, если каждый элемент B входит в A.
При составлении подмножеств каждый элемент либо берут, либо не берут.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.