ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Общее и всё вместе
Один пример — два вопроса
Пусть A = {1; 2; 3; 5}, B = {2; 4; 5}. Что есть в обоих наборах? Это A ∩ B = {2; 5}. Что есть хотя бы в одном? Это A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}.
Слово «и» помогает вспомнить пересечение: элемент принадлежит и A, и B. Для объединения «или» включает и случай одновременной принадлежности. Общие элементы не исключают и не записывают дважды.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Общие элементы не нужно считать дважды
Пусть A = {1; 2; 3}, B = {3; 4; 5}. Разложим элементы по трём областям.
Что получится при A ∩ ∅?
Пустое множество: нет ни одного элемента, который можно было бы взять из пустого набора. А объединение A ∪ ∅ совпадает с A — новых элементов не добавилось.
Главная мысль
Пересечение содержит общие элементы, объединение — элементы хотя бы одного множества.
Читаем круги
Проверяем один элемент
| Положение | Операция |
|---|---|
| Только в A | В объединении, не в пересечении |
| В A и B | И в пересечении, и в объединении |
| Вне обоих | Ни в одной из двух операций |
ПОЧЕМУ ТАК
Почему порядок A и B не важен
Общие элементы остаются теми же, если поменять названия кругов. Поэтому A ∩ B = B ∩ A и A ∪ B = B ∪ A.
ИССЛЕДУЙ САМ
Пересечение, объединение и разность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Область пересечения кругов показывает общую часть.
Разность и дополнение
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Убираем второй набор из первого
При A = {1; 2; 3; 5}, B = {2; 4; 5} получим A ∖ B = {1; 3}, а B ∖ A = {4}. Здесь порядок важен. Эти операции в параграфе служат дополнительным шагом после пересечения и объединения.
Дополнение до выбранного целого
Если U = {1; 2; 3; 4; 5}, а A = {2; 4}, то дополнение A до U равно {1; 3; 5}. Без указания целого U фраза «все остальные элементы» не определяет конкретного набора.
Разность — направленная операция
- 01Начни с первого набора
A = {1; 2; 3}
Разность A ∖ B ищем только среди элементов A.
- 02Убери общие
Удаляем 3
Число 3 есть в B, поэтому оно не остаётся в разности.
- 03Проверь направление
A ∖ B = {1; 2}
Если поменять наборы местами, выйдет B ∖ A = {4; 5}.
Чтобы найти дополнение, сначала назови общее множество U. Без него слова «все остальные элементы» не задают точный набор.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Разность A ∖ B содержит элементы A, которых нет в B.
Несколько действий
(A ∪ B) ∩ C
- Собери объединение.
При A = {1; 2}, B = {2; 3} получаем {1; 2; 3}.
- Оставь общее с C.
Если C = {3; 4}, остаётся {3}.
- Проверь каждый элемент.
3 входит в объединение и в C. Другие не удовлетворяют обоим требованиям.
Подумай и объясни
Что получится при A ∩ ∅ и A ∪ ∅?
Сверить рассуждение
Пересечение пусто: общих элементов нет. Объединение равно A: пустой набор ничего не добавляет.
Главная мысль
Операции в скобках выполняют прежде внешних.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Пересечение содержит общие элементы, объединение — элементы хотя бы одного множества.
Область пересечения кругов показывает общую часть.
Разность A ∖ B содержит элементы A, которых нет в B.
Операции в скобках выполняют прежде внешних.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.