ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Каждому человеку своё место
Почему нельзя просто сложить
Из 24 учеников каждый ходит хотя бы в один из двух кружков: 15 — в шахматный, 19 — в театральный. Если сложить 15 и 19, тех, кто ходит в оба, посчитаем дважды.
Сначала отмечаем общую часть, затем только первый кружок и только второй. Отдельная область вне кругов нужна для тех, кто не посещает ни один. Её нельзя автоматически считать пустой.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Начинай заполнение кругов с пересечения
В классе 25 учеников: 15 занимаются музыкой, 13 — спортом, 5 — и тем и другим.
Если известно только 15, 13 и всего 25, можно ли найти пересечение точно?
Нет. Можно утверждать, что общих не меньше трёх. Ровно три получится лишь при дополнительном условии: каждый ученик занимается хотя бы одним из двух видов деятельности.
Главная мысль
Круги разделяют группу на непересекающиеся области.
Два круга без двойного счёта
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
15, 19 и 10 общих
Если 10 человек ходят в оба кружка, только в первый — 15 − 10 = 5, только во второй — 19 − 10 = 9. Всего хотя бы в один: 5 + 10 + 9 = 24. Короткая запись: 15 + 19 − 10 = 24.
ПОЧЕМУ ТАК
Вычитаем один раз
Каждый общий участник попал в сумму дважды, а нужен один раз. Поэтому убираем один лишний экземпляр, а не оба.
ИССЛЕДУЙ САМ
Кто оказался в двух кругах?
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Число элементов объединения равно сумме размеров множеств минус размер пересечения.
Уточняем условие
Разберём ошибку
Неверно В классе 25 человек, 15 любят спорт, 13 — музыку. Значит, оба увлечения есть ровно у 3
Не сказано, что каждый любит хотя бы одно. Если двое не любят ни то ни другое, в объединении 23, а в пересечении 5.
Как рассуждать: При отсутствии данных можно утверждать лишь: общих не меньше 3. Для точного ответа нужен размер объединения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Есть и те, кто вне кругов
Из 30 учеников 18 любят шахматы, 15 — рисование, 7 — оба занятия. В объединении 18 + 15 − 7 = 26. Вне кругов 30 − 26 = 4.
Сложение с поправкой на повторный счёт
- 01Сложи две численности
15 + 13 = 28
Общие пять учеников здесь учтены дважды.
- 02Вычти лишний повтор
28 − 5 = 23
Каждый общий ученик должен остаться один раз, поэтому вычитаем пять, а не десять.
- 03Найди тех, кто снаружи
25 − 23 = 2
Это ученики, не входящие ни в одно из двух множеств.
В трёх кругах также начинай с самого общего центра, затем заполняй области «ровно два», и только после них — «только один».
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Чтобы найти пересечение по общему числу людей, нужно знать, сколько людей вне кругов.
Три круга
Порядок заполнения
- Все три.
Поставь в центр число тех, кто входит во все три набора.
- Ровно два.
Из каждого известного попарного пересечения вычти центральную область.
- Только один и остальные.
Из размера каждого множества вычти уже учтённые области. Затем сложи семь непересекающихся областей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Формула как проверка
Если размеры множеств 18, 17, 17; попарных пересечений 10, 6, 3; тройного — 1, то объединение равно 18 + 17 + 17 − 10 − 6 − 3 + 1 = 34. Центральную область после трёх вычитаний нужно вернуть.
Главная мысль
В диаграмме трёх множеств сначала заполняют самую общую область.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Круги разделяют группу на непересекающиеся области.
Число элементов объединения равно сумме размеров множеств минус размер пересечения.
Чтобы найти пересечение по общему числу людей, нужно знать, сколько людей вне кругов.
В диаграмме трёх множеств сначала заполняют самую общую область.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.