§ 2. Модуль числа. Противоположные числа. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Модуль — расстояние до нуля

Убираем направление, сохраняем расстояние

Точки 4 и −4 находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Поэтому |4| = |−4| = 4. Вертикальные черты называют знаком модуля. Для отрицательного числа модуль равен противоположному числу; для положительного — самому числу.

Особый случай |0| = 0 показывает, почему нельзя говорить «модуль всегда положителен». Правильно: модуль неотрицателен.

ПОСМОТРИ НА СХЕМУ

Модуль убирает направление, но сохраняет расстояние

Точки −4 и 4 расположены симметрично относительно нуля. Для каждой путь до начала отсчёта имеет длину четыре.

Как читать: |−4| = |4| = 4: модуль одинаков. При этом сами числа противоположны. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен; нулевым он бывает только у нуля.

Если |x| = 4, почему нельзя ответить только x = 4?

Потому что точка слева от нуля тоже удалена на четыре единицы. У равенства два решения: −4 и 4. У равенства |x| = 0 решение одно.

Главная мысль

Модуль любого числа неотрицателен.

Противоположные числа

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Минус перед выражением

Если a = −5, то −a = 5. Знак перед буквой означает «взять противоположное», а не обещает отрицательный результат. Два последовательных перехода к противоположному возвращают исходное число: −(−a) = a.

Три действия

При a = −3	Результат
a	−3
−a	3
\|a\|	3

ИССЛЕДУЙ САМ

Число, противоположное и модуль

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Противоположные числа имеют одинаковые модули и в сумме дают нуль.

Числовые множества

Расширяем набор

N = {1; 2; 3; …}. Добавим нуль и противоположные натуральным числа — получим Z, множество целых. Рациональные числа Q можно представить дробью m/n, где m — целое число, n — натуральное.

Например, −7 = −71 — целое и рациональное; 0,25 = 14 — рациональное, но не целое. Схема вложения: N ⊆ Z ⊆ Q. Конечные и бесконечные периодические десятичные дроби рациональны.

Два похожих обозначения

01Противоположное число
a = −7 → −a = 7
Заменили направление на обратное.
02Модуль числа
|a| = 7
Спросили о расстоянии до нуля.
03Проверь на положительном
a = 7: −a = −7, |a| = 7
Теперь результаты различаются: минус перед буквой и модуль — разные операции.

Значение −a не обязательно отрицательно: это число, противоположное a. Сначала узнай знак самого a.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные.

Уравнения с модулем

|x| = 3

Переведи на язык расстояния.
Точка находится в трёх единицах от нуля.
Рассмотри обе стороны.
Подходят −3 и 3.
Проверь особые случаи.
|x| = 0 имеет решение 0, а |x| = −3 решений не имеет.

Подумай и объясни

Равные модули всегда означают одинаковые числа?

Сверить рассуждение

Нет: 5 и −5 имеют одинаковый модуль, но это разные числа.

Главная мысль

При положительном c уравнение |x| = c имеет два решения.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Модуль любого числа неотрицателен.

Противоположные числа имеют одинаковые модули и в сумме дают нуль.

Натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные.

При положительном c уравнение |x| = c имеет два решения.

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.