ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Переставляем со знаком
Разность превращаем в сумму
Выражение 8 − 13 + 2 рассматриваем как сумму 8 + (−13) + 2. Тогда можно сначала сложить 8 и 2, а затем прибавить −13: получится −3. Нельзя переставлять только числа, оставляя знаки на старых местах.
Переместительный закон a + b = b + a и сочетательный (a + b) + c = a + (b + c) действуют и для отрицательных чисел. Они позволяют выбирать удобный порядок.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Перегруппировать можно числа вместе со знаками
В сумме 7 + (−12) + (−7) + 5 заметим противоположные числа 7 и −7.
Удобная пара7 + (−7)
Оставшиеся слагаемые−12 + 5
Общий результат0 + (−7) = −7
Можно ли таким же образом переставить числа в 10 − 3?
Нет: 3 − 10 даёт другой результат. Сначала преврати разность в сумму 10 + (−3); тогда можно переставить слагаемые: −3 + 10.
Главная мысль
Переставлять можно слагаемые вместе с их знаками.
Собираем удобные пары
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Считаем без лишних действий
−4,7 + 8 − 2,3 + 4,7 = (−4,7 + 4,7) + (8 − 2,3) = 5,7. Отмена противоположных слагаемых убрала два вычисления.
ПОЧЕМУ ТАК
Нуль не меняет сумму
Если пара даёт нуль, её можно исключить, потому что a + 0 = a. Исключают именно противоположные числа, а не любые два с минусом.
ИССЛЕДУЙ САМ
Соберём противоположные пары
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Противоположные слагаемые дают нуль; дробные части могут дополнять друг друга.
Отдельно плюсы и минусы
−6 + 2,5 − 4 + 7,5
- Положительные.
2,5 + 7,5 = 10.
- Отрицательные.
−6 + (−4) = −10.
- Объедини.
10 + (−10) = 0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Раскрываем скобки осмысленно
7 − (2 − 5) = 7 − (−3) = 10. Можно получить и 7 − 2 + 5. При вычитании всей суммы знаки её слагаемых меняются.
Вычитание сначала превратим в сложение
- 01Исходная запись
6 − 9 + 4 − 1
Знаки действий нужно прочитать до перестановки.
- 02Все слагаемые видны
6 + (−9) + 4 + (−1)
Теперь можно группировать положительные и отрицательные.
- 03Собери удобные пары
(6 + 4) + (−9 − 1) = 0
Десять и минус десять взаимно уничтожились.
Удобная группировка особенно помогает с дробями: ищи противоположные значения и пары, которые дают целое число.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Сумму нескольких чисел можно получить, сложив отдельно положительные и отрицательные слагаемые.
Проверяем равносильность
Разберём ошибку
Неверно 3 − 8 = 8 − 3
Вычитание не обладает переместительным законом.
Как рассуждать: 3 + (−8) = (−8) + 3 = −5.
Подумай и объясни
Какая сумма всех целых чисел от −20 до 20 включительно?
Сверить рассуждение
0: каждой отрицательной величине соответствует равная положительная; нуль тоже ничего не добавляет.
Главная мысль
Удобная группировка не должна менять ни одного слагаемого.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Переставлять можно слагаемые вместе с их знаками.
Противоположные слагаемые дают нуль; дробные части могут дополнять друг друга.
Сумму нескольких чисел можно получить, сложив отдельно положительные и отрицательные слагаемые.
Удобная группировка не должна менять ни одного слагаемого.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.