ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Формула становится рисунком
Точки одной зависимости
При y = 2x получаем пары (0; 0), (1; 2), (2; 4), (3; 6). На координатной плоскости они лежат на одной прямой. Достаточно двух разных точек, чтобы её провести.
Коэффициент k показывает значение y при x = 1. Для положительных k больший коэффициент даёт более крутой подъём при одинаковом масштабе осей. Чтобы определить k по ненулевой точке графика, раздели y на x.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Прямая связь удваивает оба значения
На рисунке точки графика y = 2x: при каждом увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2.
Нужно ли соединять точки для стоимости одинаковых тетрадей?
Если продаются только целые тетради, допустимы лишь целые неотрицательные количества: отмечаем отдельные точки. Для длины ленты, которую можно отмерять непрерывно, линия между точками имеет смысл.
Главная мысль
Прямая пропорциональность y = kx изображается прямой через начало координат.
Строим и проверяем
A(2; 5) и y = 2,5x
- Подставь x.
2,5 · 2 = 5.
- Сравни с y точки.
Получилось 5, значит точка принадлежит графику.
- Проверь другой адрес.
B(2; 4) не принадлежит: 4 ≠ 5.
ПОЧЕМУ ТАК
Не любая прямая подходит
Прямая y = 2x + 1 не проходит через начало координат и не описывает прямую пропорциональность. Отношение y : x для неё меняется.
ИССЛЕДУЙ САМ
Прямая и гипербола
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Принадлежность точки графику проверяют подстановкой её координат.
Обратная зависимость
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Одна площадь — разные стороны
Для прямоугольника площадью 12 см² ширина y = 12/x. При длинах 1, 2, 3, 4, 6 см ширины равны 12, 6, 4, 3, 2 см. Соединяющая точки кривая — ветвь гиперболы, а не прямая.
Почему нельзя продолжить через нуль
Деление на 0 не определено. По мере уменьшения положительного x значения y растут, поэтому кривая не пересекает ось y. Для ненулевого k полная гипербола имеет две ветви; в задачах о длинах используют только положительные значения.
Обратная пропорциональность: другая форма
- 01Постоянно произведение
xy = 12, значит y = 12 : x
Значение x = 0 запрещено: деление на нуль не определено.
- 02Удвой x
x: 2 → 4; y: 6 → 3
Вторая величина уменьшилась вдвое.
- 03Проверь точки
2 · 6 = 4 · 3 = 12
График — кривая, а не прямая линия между двумя произвольными точками.
Для положительного коэффициента отрицательные x дают отрицательные y. Если задача описывает время или количество, выбираем только значения, допустимые по её смыслу.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При y = k/x произведение xy равно k; x не может быть нулём.
Область допустимых значений
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Тетради и движение
При цене 2 р. формула C = 2n верна для 0, 1, 2, … тетрадей. Половину тетради как товар обычно не покупают, поэтому реальная модель содержит отдельные точки. Для времени движения возможны и дробные значения: получается непрерывный участок.
Подумай и объясни
Можно ли найти y при x = 0 в y = 3x и в y = 3/x?
Сверить рассуждение
В первой формуле y = 0. Во второй такое x запрещено: график через начало координат не проходит.
Главная мысль
Математическая формула и условия реальной задачи вместе определяют допустимые точки.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Прямая пропорциональность y = kx изображается прямой через начало координат.
Принадлежность точки графику проверяют подстановкой её координат.
При y = k/x произведение xy равно k; x не может быть нулём.
Математическая формула и условия реальной задачи вместе определяют допустимые точки.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.