ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
От плоского к объёмному
Не путай тело с его рисунком
У коробки есть длина, ширина и высота. На листе мы рисуем её изображение, но сама коробка занимает пространство. Грань — плоская часть поверхности, ребро — общий отрезок двух граней, вершина — точка встречи рёбер.
У куба 6 квадратных граней, 12 рёбер и 8 вершин. У прямоугольного параллелепипеда столько же этих элементов, хотя длины рёбер могут различаться. У пирамиды есть основание-многоугольник и боковые треугольные грани.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Развёртка хранит соседство граней
Мысленно поднимем четыре квадрата вокруг грани 3, затем закроем куб оставшейся гранью 5.
Любые шесть одинаковых квадратов составляют развёртку куба?
Нет. При сгибании некоторые могут попасть на одно и то же место, оставив другую сторону открытой. Важно не только количество квадратов, но и порядок их соединения.
Главная мысль
Многогранник имеет поверхность из многоугольников.
Развёртка как выкройка
Шесть квадратов — ещё не гарантия
Грани куба можно разрезать по некоторым рёбрам и разложить на плоскости. Крест из четырёх квадратов в ряд и двух по сторонам одного из внутренних квадратов складывается в куб. Но произвольный набор шести квадратов может при сгибании наложиться сам на себя.
В модели цвет показывает соответствующие грани. Найди противоположную грань мысленно, затем открой пояснение. Противоположные грани после сборки не имеют общего ребра.
ПОЧЕМУ ТАК
Площадь сохраняется
При разворачивании поверхность лишь меняет положение. Поэтому площадь развёртки равна площади поверхности тела. Клапаны для склеивания, если их добавляют, считают отдельно.
ИССЛЕДУЙ САМ
Развёртка и противоположные грани
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Развёртка позволяет собрать поверхность без растяжения и наложения граней.
Круглые тела
Что можно развернуть
| Тело | Развёртка поверхности |
|---|---|
| Цилиндр | Прямоугольник и два равных круга |
| Конус | Сектор круга и круг основания |
| Шар | Точной плоской развёртки без искажения нет |
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Почему у цилиндра прямоугольник
Разрежь бумажную этикетку вдоль высоты банки и расправь. Одна сторона равна высоте, другая — длине окружности основания. Два круга закрывают дно и верх.
А если убрать крышку?
- 01Одна грань
a = 3 см; a² = 9 см²
Грань куба — квадрат, её площадь измеряют квадратными сантиметрами.
- 02Дно и четыре стенки
5 · 9 = 45 см²
У коробки без крышки остаётся пять граней. Толщиной материала пренебрегаем.
- 03Отличи от вместимости
V = 3 · 3 · 3 = 27 см³
Удаление крышки изменило площадь поверхности, но внутреннее пространство сохранило размер.
На бумажной модели клапаны нужны для склеивания. Они не являются дополнительными гранями самого геометрического тела.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
У цилиндра, конуса и шара есть кривые поверхности.
Поверхность и вместимость
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Куб с ребром 3 см
Каждая грань имеет площадь 3 · 3 = 9 см²; все шесть — 54 см². Внутри помещаются 3 · 3 · 3 = 27 кубиков по 1 см³. Значит, объём 27 см³.
Подумай и объясни
Почему для коробки без крышки нельзя брать площадь шести граней?
Сверить рассуждение
У такой поверхности одна грань отсутствует. Нужно сложить только существующие части или вычесть площадь крышки из полной поверхности.
Главная мысль
Площадь поверхности измеряют в квадратных единицах, объём — в кубических.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Многогранник имеет поверхность из многоугольников.
Развёртка позволяет собрать поверхность без растяжения и наложения граней.
У цилиндра, конуса и шара есть кривые поверхности.
Площадь поверхности измеряют в квадратных единицах, объём — в кубических.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.