§ 2. Окружность. Круг. Формулы длины окружности и площади круга

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Граница и внутренняя область

Два похожих слова — два объекта

Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии r от центра O. Круг содержит эти точки и все точки внутри: их расстояние до центра не больше r. Радиус соединяет центр с точкой окружности.

Хорда соединяет две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр; его длина d = 2r. Два радиуса и дуга ограничивают сектор, а хорда и дуга — сегмент.

ПОСМОТРИ НА СХЕМУ

Ограда и газон требуют разных величин

Круглая площадка имеет радиус 3 м. Для ограды нужна длина границы, для покрытия газоном — площадь внутри.

Как читать: Радиус идёт от центра до границы, диаметр содержит два радиуса. Длина окружности C = 2πr зависит от радиуса линейно, а площадь круга S = πr² — от его квадрата. Поэтому единицы у ответов разные.

Если радиус удвоить, как изменятся два результата?

Длина окружности увеличится вдвое: 2π · 2r = 2 · 2πr. Площадь возрастёт вчетверо: π · (2r)² = 4πr². Удваивается и ширина, и высота всей фигуры.

Главная мысль

Окружность — граница, круг — область вместе с границей.

Измеряем длину окружности

ПОЧЕМУ ТАК

Что обозначает π

Если обернуть круглый предмет ниткой, измерить нитку и диаметр, отношение длины к диаметру получится около 3,14. Для точной окружности оно равно постоянному числу π.

π — бесконечная непериодическая дробь. Число 3,14 — лишь приближение. При r = 5 см точная длина равна 10π см, а при π ≈ 3,14 получаем примерно 31,4 см.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Проверка без калькулятора

Длина окружности немного больше трёх диаметров. Для диаметра 10 см результат около 31 см разумен; 3,14 см явно слишком мало.

ИССЛЕДУЙ САМ

Радиус меняет длину и площадь

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Длина окружности C = πd = 2πr.

Площадь круга

Почему радиус умножается сам на себя

Площадь зависит от размера в двух направлениях. Если увеличить радиус в 2 раза, круг растянется вдвое по ширине и высоте; площадь увеличится в 4 раза. Формула πr² отражает это.

Для круга радиуса 5 см: S = 25π см² ≈ 78,5 см². Не подставляй диаметр вместо радиуса: при диаметре 10 см сначала найди r = 5 см.

Подумай и объясни

При увеличении радиуса в 3 раза как изменятся C и S?

Сверить рассуждение

Длина C увеличится в 3 раза, площадь S — в 9 раз.

Диаметр сначала переводим в радиус

01Дан диаметр
d = 8 см → r = 4 см
Для формулы площади нужен радиус, поэтому делим диаметр пополам.
02Площадь
S = π · 4² = 16π см²
При π ≈ 3,14 получаем примерно 50,24 см².
03Граница
C = π · 8 = 8π см
При том же приближении примерно 25,12 см.

Точный ответ содержит π. Десятичное значение с 3,14 — приближённое, поэтому перед ним ставим знак ≈.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Площадь круга S = πr².

Выбираем нужную формулу

Клумба диаметром 4 м

Найди радиус.
r = 4 : 2 = 2 м.
Для ограждения.
C = 4π м ≈ 12,56 м.
Для площади грунта.
S = 4π м² ≈ 12,56 м². Числа совпали случайно, единицы и величины разные.

Разберём ошибку

Неверно π = 3,14 точно

Это округлённое значение.

Как рассуждать: В заданиях явно указано, какое приближение использовать. Округляй результат только там, где это требуется.

Главная мысль

Для обода нужна длина, для покрытия поверхности — площадь.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Окружность — граница, круг — область вместе с границей.

Длина окружности C = πd = 2πr.

Площадь круга S = πr².

Для обода нужна длина, для покрытия поверхности — площадь.

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.